Fiche de mathématiques
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Fonctions : Evaluation

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exercice 1

Dériver les fonctions suivantes :
 f(x) = 4x³ + 2x + 6 sur D = \mathbb{R}
 g(x) = e4x sur D = \mathbb{R}
 h(x) = 6x(2x² - 4) sur D = \mathbb{R}
 i(x) = (-5x³ + 4x)² sur D = \mathbb{R}
 j(x) = \dfrac{5x^3 - 8}{3x^2 - 4x} sur D = \left[10; +\infty \right[




exercice 2

Trouver la ou les racine(s) des polynômes suivants :
 P1(x) = 4x + 2
 P2(x) = (3x + 5)(2x - 5)
 P3(x) = x² + x - 6
 P4(x) = x² + 2x + 1



exercice 1

On sait que (xn)' = nxn - 1, donc :
f'(x) = 4 × 3 x² + 2 + 0 = 12x² + 2

g est de la forme eu.
On a : (eu)' = u'eu, donc :
g'(x) = 4 e4x

h est de la forme uv avec u = 6x et v = 2x² - 4.
On a : (uv)' = u'v + uv', donc :
h'(x) = 6(2x² - 4) + 6x × (2 × 2x) = 36x² - 24

i est de la forme un avec u = -5x3 + 4x et n = 2.
On a : (un)' = nun - 1u', donc :
i'(x) = 2(-5x³ + 4x)(-15x² + 4) = 150x5 - 160x³ + 32x

j est de la forme u/v avec u = 5x³ - 8 et v = 3x² - 4x.
On a : \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, donc :
j'(x) = \dfrac{5 \times 3x^2 \times (3x^2 - 4x) - (5x^3 - 8) \times (3 \times 2x - 4)}{(3x^2 - 4x)^2} = \dfrac{15x^4 - 40x^3 + 48x - 32}{(3x^2 - 4x)^2}




exercice 2

Il faut dans ces exercices résoudre Pn(x) = 0 avec n entier compris entre 1 et 4.
P1(x) = 0
\Longleftrightarrow 4x + 2 =0 \\ \Longleftrightarrow x = \dfrac{-2}{4} \\ \Longleftrightarrow x = \dfrac{-1}{2}

P2(x) = 0
\Longleftrightarrow (3x + 5)(2x - 5) = 0\\ \Longleftrightarrow (3x + 5 ) = 0 \text{ ou } (2x - 5) = 0\\ \Longleftrightarrow x = -\dfrac{5}{3} \text{ ou } x = \dfrac{5}{2}

P3(x) = 0
\Longleftrightarrow x^2 + x - 6 = 0
Calculons le discriminant : b^2 - 4ac = 1 - 4 \times - 6 = 25 = 5^2
x_1 = \dfrac{-1 - 5}{2 \times 1} = -3 \hspace{25pt} x_2 = \dfrac{-1 + 5}{2 \times 1} = 2
Donc : P_3(x) = 0 \Longleftrightarrow x = -3 \text{ ou } x = 2

P4(x) = 0
\Longleftrightarrow x^2 + 2x + 1 = 0\\ \Longleftrightarrow (x + 1)^2 = 0\\ \Longleftrightarrow x = -1
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