Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R,
et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
La fonction f est convexe sur I lorsque Cf est
située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f est concave sur I lorsque Cf
est située au-dessous de chacune de ses tangentes.
Exemples : fonction carré f(x)= x² sur R, et fonction inverse g(x) = 1/x sur R*
Propriété
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I,
et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
La fonction f est convexe sur I lorsque Cf est située au-dessous de toutes ses cordes.
La fonction f est concave sur I lorsque Cf est située au-dessus de toutes ses cordes.
Sur les exemples ci-dessus : fonction carré : quels que soient les points A et B de la courbe Cf,
la corde (ou segment) [AB] est située au-dessus de Cf : la fonction est convexe. fonction inverse :
sur l'intervalle ]- ; 0[, la corde [AB] est au-dessous de la courbe : la fonction est concave.
sur l'intervalle ]0 ; +[, la corde [CD] est au-dessus de la courbe : la fonction est convexe.
Teste-toi
Trace à main levée la courbe représentative des fonctions suivantes et
précise leur convexité sur les intervalles I précisés :
f(x) = -x² ; I=R
g(x) = -1/x; I=R-*
h(x) = ; I=R+*
j(x) = ; I=R
Solution
2. Propriétés
1. Convexité et dérivée
Théorème
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et f' sa dérivée.
f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I.
f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I.
2. Convexité et dérivée seconde
Rappel : la dérivée seconde d'une fonction f, notée f'', est la dérivée de sa dérivée f''(x) = (f'(x))'
Lorsque la dérivée f' est croissante, la dérivée seconde f'' est positive ;
et inversement, lorsque la dérivée f' est décroissante, f'' est négative.
D'où la propriété suivante :
Propriété
Soit f une fonction définie et dérivable deux fois sur un intervalle I.
f est convexe sur I si et seulement si, pour tout réel x
I, f''(x) 0.
f est concave sur I si et seulement si, pour tout réel x I, f''(x) 0.
Exemples :
fonction définie sur I = R+*
fonction définie sur I = R+
Teste-toi
1. Étudier la convexité de la fonction j définie sur R par .
2. Les trois graphes ci-dessous représentent, dans l'ordre :
- la dérivée seconde f'' d'une fonction f définie sur R
- la dérivée seconde g'' d'une fonction g définie sur ]-1 ; [
- la dérivée h' d'une fonction h définie sur R
Retrouver la convexité des fonctions f, g et h.
Solution
1. La fonction (fonction exponentielle) est définie et dérivable sur R,
et on a .
Donc j est convexe sur R.
2. : la fonction f est convexe sur R.
: la fonction g est concave sur cet intervalle. : la fonction g est convexe sur cet intervalle.
sur ]- ; 0] la dérivée h' est décroissante : h est concave sur cet intervalle.
sur ]0 ; + [ la dérivée h' est croissante : h est convexe sur cet intervalle.
II. Point d'inflexion
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative.
S'il existe un point A de Cf, tel que Cf traverse la tangente en ce point, alors A est un point d'inflexion.
Exemple : la fonction cube , définie sur R,
admet l'origine du repère pour point d'inflexion;
le graphe de la fonction traverse sa tangente en 0,
d'équation y=0.
On remarque que la fonction change de convexité en son point d'inflexion :
sur ]- ; 0], f est concave ; sur [0 ; +[, f est convexe.
Propriétés
Soient une fonction f définie et dérivable deux fois sur un intervalle I,
Cf son graphe, et a.
Si la dérivée f' change de sens de variation en ,
alors Cf admet un point d'inflexion en , et le point de la courbe a pour coordonnées .
Si la dérivée seconde f'' s'annule en et change de signe,
alors Cf admet un point d'inflexion en a
En ce point d'inflexion, la fonction change de convexité.
Exemple
Soit la fonction f définie sur R par .
Etudier la convexité de f et préciser les éventuels points d'inflexion.
La fonction f est dérivable, donc continue sur R.
f'(x) = 3x² - 12x + 7
f''(x) = 6x - 12
f''(x) =0 6x-12=0 x = 2
On peut résumer l'étude de la convexité de f dans le tableau suivant :
Explications :
- signe de f''(x) : la dérivée seconde s'annule en 2.
- on en déduit la variation de f'(x) : la dérivée change de sens de variation en 2.
- on en déduit la convexité de la fonction f, et la présence d'un point d'inflexion en (2; f(2)), soit (2 ;-2).
- sur le graphique, on vérifie que la courbe de f traverse sa tangente en 2
III. Méthode d'étude de convexité d'une fonction
Étapes de l'étude :
1. Définir le domaine de dérivabilité de la fonction f.
2. Établir la dérivée f'(x). Deux cas sont alors possibles : soit on connait déjà la variation de f' et on en déduit directement la convexité de f
et la présence éventuelle de point(s) d'inflexion. soit la variation de f' n'est ni évidente, ni déjà étudiée : on étudie la dérivée seconde.
3. Établir la dérivée seconde f''(x)
sur son domaine de dérivabilité, en rechercher les racines, et étudier son signe.
En déduire la convexité et les éventuels points d'inflexion.
Le tableau suivant résume les différentes propriétés vues précédemment qui nous permettent :
de déterminer la convexité d'une fonction sur un intervalle,
de préciser la présence éventuelle d'un ou de plusieurs points d'inflexion.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle [a ; b] R.
Teste-toi
Soient la fonction définie sur R par , et Cg son graphe.
Étudier la convexité de , et déterminer, le cas échéant, les coordonnées des points d'inflexion.
Vérifier les résultats sur géogébra.
Solution
La fonction polynôme est 2 fois dérivable sur R.
On a : . La variation de la dérivée g' n'est pas évidente,
on continue l'étude.
Dérivée seconde :
g''(x) = 60x³ - 120x² = 60x²(x-2) recherche des racines : g''(x)=0 x1=0 ou x2=2 étude du signe : puisque x²0, g''(x) est du signe de (x-2), fonction affine, d'où :
g''(x) 0 sur ]- ; 2] : sur cet intervalle, g est concave.
g''(x) 0 sur [2 ; [ : sur cet intervalle, g est convexe.
g''(x) ne change pas de signe en 0 (racine double), il n'y a pas de point d'inflexion au point d'abscisse 0 (A sur le graphique). a contrario, g''(x) change de signe pour x=2, il y a un point d'inflexion en 2 :
le point B(2 ;32). Cg traverse la tangente au point B.
Publié par malou/carita
le
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6x-12=0 
0, g''(x) est du signe de (x-2), fonction affine, d'où :
0 sur ]-
fonction carré : quels que soient les points A et B de la courbe Cf,
la corde (ou segment) [AB] est située au-dessus de Cf : la fonction est convexe.
; 0[, la corde [AB] est au-dessous de la courbe : la fonction est concave.
sur l'intervalle ]0 ; +
Teste-toi
 = ln(x))
définie sur I = R+*
 = x^3)
définie sur I = R+
 = x^3)
, définie sur R,
admet l'origine du repère pour point d'inflexion; 
soit on connait déjà la variation de f' et on en déduit directement la convexité de f
et la présence éventuelle de point(s) d'inflexion.
R.
I, f''(x)
0.
0.
.
,
alors Cf admet un point d'inflexion en ))
.