Fiche de mathématiques
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Convexité d'une fonction

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I. Fonctions convexes ou concaves



1. Définition

Définition
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R, et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

La fonction f est convexe sur I lorsque Cf est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f est concave sur I lorsque Cf est située au-dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples : fonction carré f(x)= x² sur R, et fonction inverse g(x) = 1/x sur R*
Autour de la convexité d'une fonction : image 14
\white{wwwwww}
Autour de la convexité d'une fonction : image 3
Propriété
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

La fonction f est convexe sur I lorsque Cf est située au-dessous de toutes ses cordes.
La fonction f est concave sur I lorsque Cf est située au-dessus de toutes ses cordes.

Sur les exemples ci-dessus :
\bullet fonction carré : quels que soient les points A et B de la courbe Cf, la corde (ou segment) [AB] est située au-dessus de Cf : la fonction est convexe.
\bullet fonction inverse : sur l'intervalle ]- infini ; 0[, la corde [AB] est au-dessous de la courbe : la fonction est concave.
\white{wwwwwwwwwww}sur l'intervalle ]0 ; +infini[, la corde [CD] est au-dessus de la courbe : la fonction est convexe.
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2. Propriétés


1. Convexité et dérivée
Théorème
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et f' sa dérivée.

f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I.
f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I.

2. Convexité et dérivée seconde
Rappel : la dérivée seconde d'une fonction f, notée f'', est la dérivée de sa dérivée f''(x) = (f'(x))'

Lorsque la dérivée f' est croissante, la dérivée seconde f'' est positive ; et inversement, lorsque la dérivée f' est décroissante, f'' est négative.
D'où la propriété suivante :
Propriété
Soit f une fonction définie et dérivable deux fois sur un intervalle I.

f est convexe sur I si et seulement si, pour tout réel x appartient I, f''(x)supegal 0.
f est concave sur I si et seulement si, pour tout réel x appartient I, f''(x) infegal 0.

Exemples : fonction f(x) = ln(x) définie sur I = R+*
Autour de la convexité d'une fonction : image 9


fonction g(x) = x^3 définie sur I = R+
Autour de la convexité d'une fonction : image 12
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II. Point d'inflexion

Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative.

S'il existe un point A de Cf, tel que Cf traverse la tangente en ce point, alors A est un point d'inflexion.

Exemple : la fonction cube f(x) = x^3, définie sur R, admet l'origine du repère pour point d'inflexion;
le graphe de la fonction traverse sa tangente en 0, d'équation y=0.
On remarque que la fonction change de convexité en son point d'inflexion : sur ]-infini ; 0], f est concave ; sur [0 ; +infini[, f est convexe.
Autour de la convexité d'une fonction : image 6

Propriétés
Soient une fonction f définie et dérivable deux fois sur un intervalle I, Cf son graphe, et aappartientR.

Si la dérivée f' change de sens de variation en a, alors Cf admet un point d'inflexion en a, et le point de la courbe a pour coordonnées (a; f(a)).

Si la dérivée seconde f'' s'annule en a et change de signe, alors Cf admet un point d'inflexion en a

En ce point d'inflexion, la fonction change de convexité.

 Exemple

III. Méthode d'étude de convexité d'une fonction

Étapes de l'étude :

1. Définir le domaine de dérivabilité de la fonction f.

2. Établir la dérivée f'(x). Deux cas sont alors possibles :
\bullet soit on connait déjà la variation de f' et on en déduit directement la convexité de f et la présence éventuelle de point(s) d'inflexion.
\bullet soit la variation de f' n'est ni évidente, ni déjà étudiée : on étudie la dérivée seconde.

3. Établir la dérivée seconde f''(x) sur son domaine de dérivabilité, en rechercher les racines, et étudier son signe. En déduire la convexité et les éventuels points d'inflexion.

Le tableau suivant résume les différentes propriétés vues précédemment qui nous permettent :
de déterminer la convexité d'une fonction sur un intervalle,
de préciser la présence éventuelle d'un ou de plusieurs points d'inflexion.

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle [a ; b] inclus R.

Autour de la convexité d'une fonction : image 5



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