Dérivée d'une fonction composée Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies sur :
1. En développant .
2. En utilisant le théorème de la dérivée des fonctions composées.
exercice 2
Calculs de dérivées Calculer la dérivée de la fonction en précisant son ensemble de définition et celui de sa dérivée.
exercice 3
Dérivées successives Calculer les dérivées d'ordre 1 à n , n , de sur l'intervalle I en utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence.
I =
I = ]2; +[
I =
exercice 4
Tangentes Pour chacune des fonctions suivantes, écrire une équation de la tangente au point A d'abscisse a de la représentation graphique de la fonction .
pour a = -1, a = 2 et a = 3
pour a = -4, a = 1 et a = 2
pour a = 0, a = et a =
exercice 5
Asymptotes Pour chacune des fonctions suivantes, écrire des équations des asymptotes parallèles aux axes.
exercice 6
Limites Calculer les limites suivantes en justifiant les résultats.
exercice 7
Périodicité Trouver la période de chacune des fonctions suivantes :
exercice 8
Symétries Un repère orthogonal du plan est donné.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite est axe de symétrie de la représentation graphique de .
exercice 9
Equations trigonométriques Dans chaque équation, l'inconnue est une mesure d'angle en radians.
Résoudre ces équations dans et représenter leurs solutions par des points du cercle trigonométrique.
exercice 10
Inéquations trigonométriques Résoudre chacune des inéquations suivantes dans l'intervalle .
La résolution sera fondée sur l'observation du cercle trigonométrique.
2. est la composée de la fonction g définie sur par et de la fonction carrée h définie sur par .
On a alors pour tout réel : .
Or, .
Pour tout réel,
Donc : pour tout réel,
1. Pour tout réel, on a :
est dérivable sur , et pour tout réel, on a :
2. est la composée de la fonction g définie sur par g(x) = 3x - 1 et de la fonction cube h définie sur par h(x) = x3.
On a alors pour tout réel : .
Or, .
Pour tout réel,
Donc : pour tout réel,
(en développant on retrouve l'expression obtenue au (1))
1. Pour tout réel, on a :
est dérivable sur , et pour tout réel, on a :
2. est la composée de la fonction g définie sur par g(x) = -x² + 2 et de la fonction carré h définie par h(x) = x².
On a alors pour tout réel : .
Or, .
Pour tout réel,
Donc : pour tout réel,
(en développant on retrouve l'expression obtenue au (1))
exercice 2
Remarque: il est préférable d'écrire l'expression de la dérivée de f sous forme factorisée (il est alors plus simple d'étudier son signe par la suite).
est définie sur et dérivable sur .
Pour tout réel , on a : .
est définie sur et dérivable sur .
est le produit de deux fonctions u et v définies sur par u(x) = (5x - 2)² et v(x) = (x² + 3x - 1)².
Or, f ' = u'v + uv' avec, pour tout réel x, u'(x) = 10(5x - 2) et v'(x) = 2(2x + 3)(x² + 3x - 1).
Pour tout réel x, on a alors :
f '(x) = 10(5x - 2)(x² + 3x - 1)² + (5x - 2)² × 2(2x+3)(x² + 3x - 1)
f '(x) = 2(5x - 2)(x² + 3x - 1)[5(x² + 3x - 1) + (2x + 3)(5x - 2)]
f '(x) = 2(5x - 2)(x² + 3x - 1)(5x² + 15x - 5 + 10x² - 4x + 15x - 6)
f '(x) = 2(5x - 2)(x² + 3x - 1)(15x² + 26x - 11)
est définie sur et dérivable sur .
Développons : pour tout réel , on a .
On a alors pout tout réel , .
est définie sur \{0} et dérivable sur *.
est la composée de la fonction carrée et de la fonction inverse. Donc, pour tout réel , on a :
est définie et dérivable sur *, et pour tout réel , on a :
(Cette dernière expression sera utilisée pour étudier le sens de variations de la fonction f).
est définie et dérivable sur * et pour tout réel , on a :
exercice 3
f(x) = x4 - 6x² + 5
f est définie et dérivable sur et on a pour tout réel x : f '(x) = 4x3 - 12x.
f ' est dérivable sur et pour tout réel x, on a : f ''(x) = 12x² - 12.
f '' est dérivable sur et pour tout réel x, on a : f '''(x) = 24x.
f''' est dérivable sur et pour tout réel x, on a : f(4)(x) = 24.
Pour tout n 5, f(n)(x) = 0.
I = ]2; +[. est dérivable sur I et pour tout réel , on a :
, dérivable sur I, et pour tout réel , on a :
.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a "".
La proposition est initialisée (vraie pour n = 1 et pour , = 2).
Suppsons la proposition vraie au rang k : .
La fonction (k) est dérivable sur I, et pour tout réel , on a :
.
Soit .
La proposition est donc héréditaire. On a donc :
pour tout entier naturel n, .
est dérivable sur , comme composée des fonctions et définies sur par et . Pour tout réel , on a :
On montrera par récurrence que :
exercice 4
Rappel :
La tangente en de la fonction a pour équation : .
f(x) = 3x² - 5x + 1
f est définie et dérivable sur , et pour tout réel x, on a : f '(x) = 6x - 5.
Equation de la tangente en a = -1 :
f '(-1) = 6 × (-1) - 5 = -11 et f(-1) = 3 × (-1)² - 5 × (-1) + 1 = 9
Une équation de la tangente en a = -1 est y = -11(x + 1) + 9 = -11x - 2
Equation de la tangente en a = 2 :
f '(2) = 6 × 2 - 5 = 7 et f(2) = 3 × 2² - 5 × 2 + 1 = 3
Une équation de la tangente en a = 2 est y = 7(x - 2) + 3 = 7x - 11
Equation de la tangente en a = 3 :
f '(3) = 6 × 3 - 5 = 13 et f(3) = 3 × 3² - 5 × 3 + 1 = 13
Une équation de la tangente en a = 3 est y = 13(x - 3) + 13 = 13x - 26
est définie et dérivable sur \{2}, et pour tout réel de \{2}, on a : .
Equation de la tangente en a = -4 :
f '(-4) = et f(-4) =
Une équation de la tangente en a = -4 est y =
Equation de la tangente en a = 1 :
f '(1) = et f(1) =
Une équation de la tangente en a = 1 est y =
Equation de la tangente en a = 2 :
f '(2) = et f(2) =
Une équation de la tangente en a = 2 est y =
est définie et dérivable sur et pour tout réel de cet intervalle, on a :
Equation de la tangente en a = 0 :
= 1 + tan² 0 = 1 et = tan 0 = 0
Une équation de la tangente en a = 0 est y = 1 × ( - 0) + 0 =
Equation de la tangente en a = :
et
Une équation de la tangente en a = est y =
Equation de la tangente en a = :
et
Une équation de la tangente en a = est y =
exercice 5
Rappel :
La courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale d'équation si .
La courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale d'équation si .
Df = \{0}
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
On a : et , donc :
On a : , donc :
D'où : la courbe représentative de ma fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 0.
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout de Df, on a :
Or, et , donc :
De même, et , donc :
D'où : la droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Le dénominateur s'annule en x = -2 et x = 2, donc : Df = \{-2; 2}
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
On a : et , donc :
Et : , donc
D'où : la droite d'équation x = -2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : et , donc :
Et : , donc .
D'où : la droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout de Df, on a :
Or, et , donc :
De même, et , donc :
D'où : la droite d'équation y = 5 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Le dénominateur s'annule en x = -2, donc Df = \{-2}
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
On a : et , donc :
Et, , donc :
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = -2.
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout de Df, on a :
Or, et , donc :
De même, et , donc :
D'où : la droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Le dénominateur s'annule en x = 1 et x = 2, donc Df = \{1; 2}
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : et , donc :
Et : , donc :
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 1.
Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : et , donc :
Et : , donc :
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 2.
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout de Df, on a :
Or, et , donc :
De même, et , donc :
D'où : la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Le dénominateur ne s'annule jamais, donc Df =
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout de Df, on a :
Or, et , donc :
De même, et , donc :
D'où : la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
Le dénominateur s'annule en x = 0 et x = 1, donc Df = \{0; 1}
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
Pour tout de Df, on a :
On a : et , donc :
Et : , donc :
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 0.
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : et , donc :
Et : , donc :
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 1.
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout de Df, on a :
Or, et , donc :
De même, et , donc :
D'où : la droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
exercice 6
On a : .
Or, .
Donc .
On sait que , donc : .
De même, .
Pour tout réel , on a .
Or, , donc .
C'est une forme indéterminée, il faut donc factoriser :
Or , donc :
Or, , donc
D'où :
exercice 7
Rappel :
La fonction est T-périodique si pour tout de son ensemble de définition, on a :
La fonction cosinus est 2-périodique, donc f également.
La fonction sinus est 2-périodique, donc .
Donc : .
D'où : f est 6-périodique.
La fonction cosinus est 2-périodique, donc .
La fonction sinus est 2-périodique, donc est 4-périodique.
D'où : f est 4-périodique.
la fonction tangente est -périodique.
En effet : et ; , donc .
Donc :
On en conclut que f est périodique de période .
exercice 8
Rappel :
La droite d'équation est un axe de symétrie de la courbe représentative de si :
pour tout de Df, est dans Df et .
f(x) = x² - 2x + 5
Pour tout réel x, on a :
f(1 - x) = (1 - x)² - 2(1 - x) + 5 = x² + 4
et f(1 + x) = (1 + x)² - 2(1 + x) + 5 = x² + 4
Comme f(1 + x) = f(1 - x), alors la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction f.
Pour tout réel x, on a :
et
Comme f(-1 + x) = f(-1 - x), alors la droite d'équation x = -1 est un axe de symétrie de la représentation graphique de f.
f(x) = cos4(x) - 2cos²(x)
Pour tout réel x, on a :
Or, , donc :
Et : Or, , donc
Comme , alors la droite d'équation est un axe de symétrie de la représentation graphique de f.
exercice 9
Rappel :
cos a = cos b a = b + 2k ou a = -b + 2k
sin a = sin b a = b + 2k ou a = - b + 2k
Comme , alors l'équation équivaut à : .
D'où : où
D'où : où .
Comme , alors :
où
où
D'où : où .
où
où
D'où : où
cos(2x) = cos(3x)
où
où
D'où : où
où
où
D'où : .
exercice 10
On trace la droite d'équation y = 1/2 et le cercle trigonométrique.
les abscisses des points A et B sont les solutions sur de l'équation .
Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points situés sur le demi-arc inférieur d'extrémités A et B.
D'où : .
Cette inéquation est équivalente à .
Traçons la droite d'équation et notons A et B les points d'intersection de cette droite avec le cercle trigonométrique.
D'où :
Même démarche : traçons la droite d'équation .
D'où :
1ère méthode:Rappel: sin(2x) = 2sin(x) cos(x).
L'inéquation est donc équivalente à : sin(2x) < 0.
Il faut dans un premier temps résoudre sin X < 0 : , où k.
Alors , ce qui équivaut à où .
Les solutions dans [0; 2[ de cette inéquation sont donc: .
2ème méthode : pour que le produit sin(x) cos(x) soit négatif il faut que sin(x) et cos(x) soit de signe différent, il y a donc deux quarts de cercle et on retrouve le même ensemble de solutions.
Publié par Tom_Pascal
le
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