Fiche de mathématiques
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Fonctions

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exercice 1

Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée des fonctions f suivantes définies sur \mathbb{R} :
f(x) = (-2x + 1)^2\\ f(x) = (3x - 1)^3\\ f(x) = (-x^2 + 2)^2

1. En développant f(x).
2. En utilisant le théorème de la dérivée des fonctions composées.


exercice 2

Calculs de dérivées
Calculer la dérivée de la fonction f en précisant son ensemble de définition et celui de sa dérivée.
f(x) = (2x^2 - x + 1)^3\\ f(x) = (5x - 2)^2(x^2 + 3x - 1)^2\\ f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)\\ f(x) = \displaystyle \frac{1}{x^2}\\ f(x) = \displaystyle -\frac{1}{x} + \frac{3}{x^3}\\ f(x) = -2x^3 + x + \frac{4}{x^2}


exercice 3

Dérivées successives
Calculer les dérivées d'ordre 1 à n , n \in \mathbb{N}^*, de f sur l'intervalle I en utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence.
f(x) = x^4 - 6x^2 + 5I = \mathbb{R}
f(x) = \displaystyle \frac{1}{x - 2}I = ]2; +\infty[
f(x) = \cos (3x)I = \mathbb{R}



exercice 4

Tangentes
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire une équation de la tangente au point A d'abscisse a de la représentation graphique de la fonction f.
f(x) = 3x^2 - 5x + 1pour a = -1, a = 2 et a = 3
f(x) = x - 1 + \displaystyle \frac{1}{x + 2}pour a = -4, a = 1 et a = 2
f(x) = \tan xpour a = 0, a = \displaystyle \frac{\pi}{6} et a = \displaystyle \frac{\pi}{4}



exercice 5

Asymptotes
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire des équations des asymptotes parallèles aux axes.
f(x) = \dfrac{2x + 1}{x}\\ f(x) = \dfrac{5x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}\\ f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}\\ f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 - 3x + 2}\\ f(x) = \dfrac{x^2 - x + 3}{x^2 + x + 1}\\ f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x}{x^3 - x^2}


exercice 6

Limites
Calculer les limites suivantes en justifiant les résultats.
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x^2 - x + 3}\\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \sqrt{2x^2 - x + 3}\\ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x)^2\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \cos \sqrt{x}\\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} {x - \sqrt{x^3 - 1}}


exercice 7

Périodicité
Trouver la période de chacune des fonctions suivantes :
f(x) = \cos \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)\\ f(x) = \sin \dfrac{x}{3}\\ f(x) = \sin \dfrac{x}{2} + \cos x\\ f(x) = \tan \left(2 \pi x\right)


exercice 8

Symétries
Un repère orthogonal du plan est donné.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite \mathcal{D} est axe de symétrie de la représentation graphique de f.
f(x) = x^2 - 2x + 5\mathcal{D} \hspace{2pt}:\hspace{2pt} x = 1
f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{2x^2 + 4x + 3}\mathcal{D} \hspace{2pt}:\hspace{2pt} x = -1
f(x) = \cos^4 x - 2\cos^2 x\mathcal{D} \hspace{2pt}:\hspace{2pt} x = \dfrac{\pi}{2}



exercice 9

Equations trigonométriques
Dans chaque équation, l'inconnue x est une mesure d'angle en radians.
Résoudre ces équations dans \mathbb{R} et représenter leurs solutions par des points du cercle trigonométrique.
\cos x = \dfrac12\\ 2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1\\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 2\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}\\ \cos 2x = \cos 3x \\ \cos x = \sin 2x


exercice 10

Inéquations trigonométriques
Résoudre chacune des inéquations suivantes dans l'intervalle \left[0; 2\pi\right[.
La résolution sera fondée sur l'observation du cercle trigonométrique.
\sin x < \dfrac12\\ 2\cos x - \sqrt{2} < 0\\ \cos x > -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin x \hspace{2pt} \cos x < 0





exercice 1

  • f(x) = (-2x + 1)^2
1. Pour tout x réel, on a :
f(x) = (-2x)^2 - 4x + 1\\ f(x) = 4x^2 - 4x + 1
f est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout x réel, on a : f'(x) = 8x - 4

2. f est la composée de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = -2x + 1 et de la fonction carrée h définie sur \mathbb{R} par h(x) = x^2.
On a alors pour tout x réel : f(x) = h \circ g(x).
Or, f'(x) = g'(x) \times h' \circ g(x).
Pour tout x réel, g'(x) = -2 \hspace{5pt} \text{et} \hspace{5pt} h'(x) = 2x
Donc : pour tout x réel, f'(x) = -2 \times 2(-2x + 1) = -4(-2x + 1) = 8x - 4
  • f(x) = (3x - 1)^3
1. Pour tout x réel, on a : f(x) = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1
f est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout x réel, on a :
f'(x) = 27 \times 3x^2 - 27 \times 2x + 9\\ f'(x) = 81x^2 - 54x + 9

2. f est la composée de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = 3x - 1 et de la fonction cube h définie sur \mathbb{R} par h(x) = x3.
On a alors pour tout x réel : f(x) = h \circ g(x).
Or, f'(x) = g'(x) \times h' \circ g(x).
Pour tout x réel, g'(x) = 3 \hspace{5pt} \text{et} \hspace{5pt} h'(x) = 3x^2
Donc : pour tout x réel, f'(x) = 3 \times 3(3x - 1)^2 = 9(3x - 1)^2
(en développant on retrouve l'expression obtenue au (1))
  • f(x) = (-x^2 + 2)^2
1. Pour tout x réel, on a : f(x) = x^4 - 4x^2 + 4
f est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout x réel, on a :
f'(x) = 4x^3 - 4 \times 2x\\ f'(x) = 4x^3 - 8x

2. f est la composée de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = -x² + 2 et de la fonction carré h définie \mathbb{R} par h(x) = x².
On a alors pour tout x réel : f(x) = h \circ g(x).
Or, f'(x) = g'(x) \times h' \circ g(x).
Pour tout x réel, g'(x) = -2x \hspace{5pt} \text{et} \hspace{5pt} h'(x) = 2x
Donc : pour tout x réel, f'(x) = -2x \times 2(-x^2 + 2) = 4x(x^2 - 2)
(en développant on retrouve l'expression obtenue au (1))



exercice 2

Remarque: il est préférable d'écrire l'expression de la dérivée de f sous forme factorisée (il est alors plus simple d'étudier son signe par la suite).
  • f(x) = (2x^2 - x + 1)^3
f est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, on a : f'(x) = 3(4x - 1)(2x^2 - x + 1)^2.
  • f(x) = (5x - 2)^2(x^2 + 3x - 1)^2
f est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R}.
f est le produit de deux fonctions u et v définies sur \mathbb{R} par u(x) = (5x - 2)² et v(x) = (x² + 3x - 1)².
Or, f ' = u'v + uv' avec, pour tout réel x, u'(x) = 10(5x - 2) et v'(x) = 2(2x + 3)(x² + 3x - 1).
Pour tout réel x, on a alors :
f '(x) = 10(5x - 2)(x² + 3x - 1)² + (5x - 2)² × 2(2x+3)(x² + 3x - 1)
f '(x) = 2(5x - 2)(x² + 3x - 1)[5(x² + 3x - 1) + (2x + 3)(5x - 2)]
f '(x) = 2(5x - 2)(x² + 3x - 1)(5x² + 15x - 5 + 10x² - 4x + 15x - 6)
f '(x) = 2(5x - 2)(x² + 3x - 1)(15x² + 26x - 11)
  • f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
f est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R}.
Développons f : pour tout réel x, on a f(x) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x.
On a alors pout tout réel x, f'(x) = 4x^3 + 18x^2 + 22x + 6.
  • f(x) = \dfrac{1}{x^2}
f est définie sur \mathbb{R}\{0} et dérivable sur \mathbb{R}*.
f est la composée de la fonction carrée et de la fonction inverse. Donc, pour tout réel x, on a :
f'(x) = 2x\times \dfrac{-1}{x^4}\\ f'(x) = \dfrac{-2}{x^3}
  • f(x) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^3}
f est définie et dérivable sur \mathbb{R}*, et pour tout réel x, on a :
f'(x) = -\left(\dfrac{-1}{x^2}\right) + 3 \times 3x^2 \times \dfrac{-1}{x^6}\\ f'(x) = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{9}{x^4}\\ f'(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^4}\\ f'(x) = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x^4}
(Cette dernière expression sera utilisée pour étudier le sens de variations de la fonction f).
  • f(x) = -2x^3 + x + \frac{4}{x^2}
f est définie et dérivable sur R* et pour tout réel x, on a :
f'(x) = -2 \times 3x^2 + 1 + \dfrac{-4 \times 2x}{x^4}\\ f'(x) = -6x^2 + 1 - \frac{8}{x^3}



exercice 3

  • f(x) = x4 - 6x² + 5
f est définie et dérivable sur \mathbb{R} et on a pour tout réel x : f '(x) = 4x3 - 12x.
f ' est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a : f ''(x) = 12x² - 12.
f '' est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a : f '''(x) = 24x.
f''' est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a : f(4)(x) = 24.
Pour tout n \geq 5, f(n)(x) = 0.
  • f(x) = \dfrac{1}{x-2}
I = ]2; +infini[. f est dérivable sur I et pour tout réel x, on a :
f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2}, dérivable sur I, et pour tout réel x, on a :
f''(x) = \dfrac{ 2(x - 2)}{(x - 2)^4}.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a "f^{(n)}(x) = \dfrac{(-1)^n \times n!}{(x-2)^{n + 1}}".
La proposition est initialisée (vraie pour n = 1 et pour , = 2).
Suppsons la proposition vraie au rang k : f^{(k)}(x) = \dfrac{(-1)^k \times k!}{(x-2)^{k + 1}}.
La fonction f(k) est dérivable sur I, et pour tout réel x, on a :
\left(f^{(k)}\right)'(x) = f^{(k+1)}(x) = (-1)^k \times k! \times \dfrac{-1\times (k+1)}{(x - 2)^{k + 2}}.
Soit f^{(k+1)}(x) = \dfrac{(-1)^{k+1}\times (k+1)!}{(x-2)^{k + 2}}.
La proposition est donc héréditaire. On a donc :
pour tout entier naturel n, f^{(n)}(x) = \dfrac{(-1)^n\times n!}{(x-2)^{n + 1}}.

f(x) = \cos(3x)
f est dérivable sur \mathbb{R}, comme composée des fonctions g et h définies sur \mathbb{R} par g(x) = 3x et h(x) = \cos x. Pour tout réel x, on a :
f'(x) = -3 \sin(3x) = 3 \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right) \\ f''(x) = 3 \times (-3) \sin \left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) = 3^2 \cos\left(3x + \dfrac{2\pi}{2}\right) \\ f'''(x) = 3^2 \times (-3) \sin\left(3x+\dfrac{2\pi}{2}\right) = 3^3 \cos\left(3x+\dfrac{3\pi}{2}\right)

On montrera par récurrence que : \boxed{f^{(n)}(x) = 3^n \cos\left(3x + \frac{n\pi}{2}\right)}



exercice 4

Rappel :
La tangente en x = a de la fonction f a pour équation : y = f'(a)(x - a) + f(a).



  • f(x) = 3x² - 5x + 1
f est définie et dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x, on a : f '(x) = 6x - 5.
Equation de la tangente en a = -1 :
f '(-1) = 6 × (-1) - 5 = -11     et     f(-1) = 3 × (-1)² - 5 × (-1) + 1 = 9
Une équation de la tangente en a = -1 est y = -11(x + 1) + 9 = -11x - 2

Equation de la tangente en a = 2 :
f '(2) = 6 × 2 - 5 = 7     et     f(2) = 3 × 2² - 5 × 2 + 1 = 3
Une équation de la tangente en a = 2 est y = 7(x - 2) + 3 = 7x - 11

Equation de la tangente en a = 3 :
f '(3) = 6 × 3 - 5 = 13     et     f(3) = 3 × 3² - 5 × 3 + 1 = 13
Une équation de la tangente en a = 3 est y = 13(x - 3) + 13 = 13x - 26
  • f(x) = x-1+\frac{1}{x+2}
f est définie et dérivable sur \mathbb{R}\{2}, et pour tout réel x de \mathbb{R}\{2}, on a : f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+2)^2}.
Equation de la tangente en a = -4 :
f '(-4) = 1 - \frac{1}{(-4 + 2)^2} = \frac34     et     f(-4) = -4 - 1 + \frac{1}{-4 + 2} = -\frac{11}{2}
Une équation de la tangente en a = -4 est y = \frac34(x + 4) - \frac{11}{2} = \frac34x - \frac52

Equation de la tangente en a = 1 :
f '(1) = 1 - \frac{1}{(1 + 2)^2} = \frac89     et     f(1) = 1 - 1 + \frac{1}{1 + 2} = \frac13
Une équation de la tangente en a = 1 est y = \frac89(x - 1) + \frac13 = \frac89x - \frac59

Equation de la tangente en a = 2 :
f '(2) = 1 - \frac{1}{(2 + 2)^2} = \frac{15}{16}     et     f(2) = 2 - 1 + \frac{1}{2 + 2} = \frac54
Une équation de la tangente en a = 2 est y = \frac{15}{16}(x - 2) + \frac54 = \frac{15}{16}x - \frac58
  • f(x) = \tan(x)
f est définie et dérivable sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right[ et pour tout réel x de cet intervalle, on a : f'(x) = 1 + \tan^2(x)
Equation de la tangente en a = 0 :
f'(0) = 1 + tan² 0 = 1     et     f(0) = tan 0 = 0
Une équation de la tangente en a = 0 est y = 1 × (x - 0) + 0 = x

Equation de la tangente en a = \frac{\pi}{6} :
f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac43     et     f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}
Une équation de la tangente en a = \frac{\pi}{6} est y = \frac43\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac43x + \frac{3\sqrt{3} - 2\pi}{9}

Equation de la tangente en a = \frac{\pi}{4} :
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2     et     f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
Une équation de la tangente en a = \frac{\pi}{4} est y = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 2x + \frac{2 - \pi}{2}



exercice 5

Rappel :
La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = \ell si \displaystyle \lim_{x\to \ell} f(x) = \pm \infty.
La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y = \ell si \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} f(x) = \ell.



  • f(x) = \dfrac{2x+1}{x}
Df = \mathbb{R}\{0}
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to 0} (2x + 1) = 1 et \displaystyle \lim_{x \to 0\\ x > 0} \frac1x = +\infty, donc : \displaystyle \lim_{x \to 0\\ x > 0} f(x) = +\infty
On a : \displaystyle \lim_{x \to 0\\ x < 0} \frac1x = -\infty, donc : \displaystyle \lim_{x \to 0\\ x < 0} f(x) = -\infty
D'où : la courbe représentative de ma fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 0.

Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{2x+1}{x} = \frac{x(2 + \frac1x)}{x} = 2 + \frac1x
Or, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 = 2 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac1x = 0, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2
De même, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} 2 = 2 et \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac1x = 0, donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2
D'où : la droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
  • f(x) = \frac{5x^2-2x+1}{x^2-4}
Le dénominateur s'annule en x = -2 et x = 2, donc : Df = \mathbb{R}\{-2; 2}
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to -2} (5x^2 - 2x + 1) = 25 et \displaystyle \lim_{x \to -2 \\ x > -2} (x^2 - 4) = 0^-, donc : \displaystyle \lim_{x \to -2\\x > -2} f(x) = -\infty
Et : \displaystyle \lim_{x \to -2 \\ x < -2} (x^2 - 4) = 0^+, donc \displaystyle \lim_{x \to -2 \\ x < -2} f(x) = +\infty
D'où : la droite d'équation x = -2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.

Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to 2} (5x^2 - 2x + 1) = 17 et \displaystyle \lim_{x \to 2 \\ x > 2} (x^2 - 4) = 0^+, donc : \displaystyle \lim_{x \to 2\\ x > 2} f(x) = +\infty
Et : \displaystyle \lim_{x \to 2 \\ x < 2} (x^2 - 4) = 0^-, donc \displaystyle \lim_{x \to -2 \\ x < 2} f(x) = -\infty.
D'où : la droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.

Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{5x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4} = \frac{x^2\left(5 - \frac2x + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} = \frac{5 - \frac2x + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}
Or, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(5 - \frac2x + \frac{1}{x^2}\right) = 5 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{4}{x^2}\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 5
De même, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(5 - \frac2x + \frac{1}{x^2}\right) = 5 et \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{4}{x^2}\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 5
D'où : la droite d'équation y = 5 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
  • f(x) = \frac{3x-1}{x+2}
Le dénominateur s'annule en x = -2, donc Df = \mathbb{R}\{-2}
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to -2} (3x - 1) = -7 et \displaystyle \lim_{x \to -2\\x > -2} (x + 2) = 0^+, donc : \displaystyle \lim_{x \to -2 \\ x > -2} f(x) = -\infty
Et, \displaystyle \lim_{x \to -2\\x < -2} (x + 2) = 0^-, donc : \displaystyle \lim_{x \to -2 \\ x < -2} f(x) = +\infty
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = -2.

Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{x\left(3 - \frac1x \right)}{x\left(1 + \frac2x \right)} = \frac{3 - \frac1x}{1 + \frac2x}
Or, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(3 - \frac1x\right) = 3 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac2x\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3
De même, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(3 - \frac1x\right) = 3 et \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac2x\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3
D'où : la droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
  • f(x) = \frac{2x-1}{x^2-3x+2}
Le dénominateur s'annule en x = 1 et x = 2, donc Df = \mathbb{R}\{1; 2}
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1 et \displaystyle \lim_{x \to 1\\x > 1} (x^2 - 3x + 2) = 0^-, donc : \displaystyle \lim_{x \to 1 \\ x > 1} f(x) = -\infty
Et : \displaystyle \lim_{x \to 1\\x < 1} (x^2 - 3x + 2) = 0^+, donc : \displaystyle \lim_{x \to 1 \\ x < 1} f(x) = +\infty
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 1.

Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to 2} (2x - 1) = 3 et \displaystyle \lim_{x \to 2\\x > 2} (x^2 - 3x + 2) = 0^+, donc : \displaystyle \lim_{x \to 2 \\ x > 2} f(x) = +\infty
Et : \displaystyle \lim_{x \to 2\\x < 2} (x^2 - 3x + 2) = 0^-, donc : \displaystyle \lim_{x \to 2 \\ x < 2} f(x) = -\infty
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 2.

Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{2 - \frac1x}{x - 3 + \frac2x}
Or, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac1x\right) = 2 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x - 3 + \frac2x\right) = +\infty, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
De même, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac1x\right) = 2 et \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(x - 3 + \frac2x\right) = -\infty, donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0
D'où : la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
  • f(x)=\frac{x^2-x+3}{x^2+x+1}
Le dénominateur ne s'annule jamais, donc Df = \mathbb{R}
Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{1 - \frac1x + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac1x + \frac{1}{x^2}}
Or, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac1x + \frac{3}{x^2}\right) = 1 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac1x + \frac{1}{x^2}\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
De même, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac1x + \frac{3}{x^2}\right) = 1 et \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac1x + \frac{1}{x^2}\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1
D'où : la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.
  • f(x) = \frac{2x^3-3x}{x^3-x^2}
Le dénominateur s'annule en x = 0 et x = 1, donc Df = \mathbb{R}\{0; 1}
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{x(2x^2 - 3)}{x(x^2 - x)} = \frac{2x^2 - 3}{x^2 - x}
On a : \displaystyle \lim_{x \to 0} (2x^2 - 3) = -3 et \displaystyle \lim_{x \to 0\\x > 0} (x^2 - x) = 0^-, donc : \displaystyle \lim_{x \to 0 \\ x > 0} f(x) = +\infty
Et : \displaystyle \lim_{x \to 0\\x < 0} (x^2 - x) = 0^+, donc : \displaystyle \lim_{x \to 0 \\ x < 0} f(x) = -\infty
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 0.

Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to 1} (2x^3 - 3x) = -1 et \displaystyle \lim_{x \to 1\\x > 1} (x^3 - x^2) = 0^+, donc : \displaystyle \lim_{x \to 1 \\ x > 1} f(x) = -\infty
Et : \displaystyle \lim_{x \to 1\\x < 1} (x^3 - x^2) = 0^-, donc : \displaystyle \lim_{x \to 1 \\ x < 1} f(x) = +\infty
D'où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = 1.

Etudions la limite de la fonction f en l'infini :
Pour tout x de Df, on a : f(x) = \frac{2 - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac1x}
Or, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{3}{x^2}\right) = 2 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac1x\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2
De même, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{3}{x^2}\right) = 2 et \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac1x\right) = 1, donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2
D'où : la droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l'infini.



exercice 6

On a : 2x^2 - x + 3 = x^2\left(2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}\right).
Or, \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^2} = 0.
Donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}(2x^2-x+3) = +\infty.
On sait que \displaystyle \lim_{X\to+\infty}\sqrt{X} = +\infty, donc : \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sqrt{2x^2-x+3} = +\infty.

De même, \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\sqrt{2x^2-x+3} = +\infty.

Pour tout réel x, on a \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.
Or, \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \hspace{5pt} \text{ et }  \hspace{5pt} \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, donc \displaystyle \lim_{x\ \to \frac{\pi}{2}} \tan^2(x) = +\infty.

\cos\left(\sqrt{x}\right) = \cos 0 = 1

C'est une forme indéterminée, il faut donc factoriser x - \sqrt{x^3 - 1} :
x - \sqrt{x^3 - 1} = x - \sqrt{x^2\left(x - \frac{1}{x^2}\right)} = x - |x| \sqrt{x - \frac{1}{x^2}}
Or x > 0, donc : x - \sqrt{x^3 - 1} = x - x \sqrt{x - \frac{1}{x^2}} = x\left(1 - \sqrt{x - \frac{1}{x^2}}\right)
Or, \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} = 0, donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x - \frac{1}{x^2}}}\right) = +\infty
D'où : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(x - \sqrt{x^3 - 1}\right) = -\infty



exercice 7

Rappel :
La fonction f est T-périodique si pour tout x de son ensemble de définition, on a : f(T + x) = f(x)



  • f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right)
La fonction cosinus est 2\pi-périodique, donc f également.
  • f(x) = sin(\frac{x}{3})
La fonction sinus est 2\pi-périodique, donc \sin\left(X + 2\pi\right) = \sin X.
Donc : \sin \left(\frac{x}{3} + 2\pi\right) = \sin \left(\frac{x + 6\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{x}{3}\right).
D'où : f est 6\pi-périodique.
  • f(x) = \sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos x
La fonction cosinus est 2\pi-périodique, donc \cos \left(x + 2\pi\right) = \cos(x + 4\pi) = \cos x.
La fonction sinus est 2\pi-périodique, donc \sin \left(\frac{x}{2}\right) est 4\pi-périodique.
D'où : f est 4\pi-périodique.
  • f(x)=tan(2\pi x)
la fonction tangente est \pi-périodique.
En effet : \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} et \sin \left(\pi + x\right) = -\sin x; \cos \left(\pi + x\right) = -\cos x, donc \tan\left(\pi + x) = \tan x.
Donc :
\tan(2\pi x + \pi) = \tan(2\pi x)\\ \tan \left(2\pi\left(x + \frac{1}{2}\right)\right) = \tan(2\pi x)
On en conclut que f est périodique de période \frac12.



exercice 8

Rappel :
La droite d'équation x = a est un axe de symétrie de la courbe représentative de f si :
pour tout x = a + h de Df, a - h est dans Df
et f(a + h) = f(a - h).



  • f(x) = x² - 2x + 5
Pour tout réel x, on a :
f(1 - x) = (1 - x)² - 2(1 - x) + 5 = x² + 4
et f(1 + x) = (1 + x)² - 2(1 + x) + 5 = x² + 4
Comme f(1 + x) = f(1 - x), alors la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction f.
  • f(x)=\frac{x^2+2x-2}{2x^2+4x+3}
Pour tout réel x, on a :
f(-1 - x) = \frac{(-1 - x)^2 + 2(-1 - x) - 2}{2(-1 - x)^2 + 4(- 1 - x) + 3} = \frac{x^2-3}{2x^2+1}
et f(-1 + x) = \frac{(x-1)^2 + 2(x-1)-2}{2(x-1)^2+4(x-1)+3} = \frac{x^2-3}{2x^2+1}
Comme f(-1 + x) = f(-1 - x), alors la droite d'équation x = -1 est un axe de symétrie de la représentation graphique de f.
  • f(x) = cos4(x) - 2cos²(x)
Pour tout réel x, on a :
f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos^4\left(\frac{\pi}{2}-x\right) - 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
Or, \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x), donc : f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin^4 x - 2\sin^2x
Et : f\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos^4\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) Or, \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x), donc  f\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin^4 x - 2 \sin^2 x
Comme f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = f\left(\frac{\pi}{2} + x\right), alors la droite d'équation x = \frac{\pi}{2} est un axe de symétrie de la représentation graphique de f.



exercice 9

Rappel :
cos a = cos b \Longleftrightarrow a = b + 2kpi ou a = -b + 2kpi
sin a = sin b \Longleftrightarrow a = b + 2kpi ou a = pi - b + 2kpi



  • \cos x = \dfrac{1}{2}
Comme \frac{1}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right), alors l'équation équivaut à : \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
D'où : \mathcal{S} = \lbrace \frac{\pi}{3}+2k\pi ; \hspace{3pt} \frac{5\pi}{3}+2k\pi\rbrace k \in \mathbb{Z}
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 42
  • 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1
\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\\ \Longleftrightarrow x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt}  x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \text{k} \in \mathbb{Z} \\ \Longleftrightarrow x = \frac{\pi}{6}+2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou  }\hspace{10pt} x = \frac{-\pi}{2}+2k\pi \text{k} \in \mathbb{Z}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace \frac{\pi}{6}+2k\pi ; \hspace{3pt} \frac{3\pi}{2}+2k\pi\rbrace k \in \mathbb{Z}.
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 43
  • \sin x = \frac{-\sqrt{2}}{2}
Comme \sin(\frac{-\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}}{2}, alors :
\sin x = \sin(\frac{-\pi}{4}) \Longleftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} x = \pi-\frac{-\pi}{4}+2k\pik \in \mathbb{Z}
\Longleftrightarrow x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} x = \frac{5\pi}{4}+2k\pik \in \mathbb{Z}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace \frac{5\pi}{4}+2k\pi; \hspace{3pt} \frac{7\pi}{4}+2k\pi\rbrace k\in \mathbb{Z}.
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 44
  • 2\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}
\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})
\Longleftrightarrow 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3}+2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} 3x + \frac{\pi}{4} = \pi-\frac{\pi}{3}+2k\pik\in \mathbb{Z}
\Longleftrightarrow x = \frac{\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3} \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}k \in \mathbb{Z}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace \frac{\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3} ; \hspace{3p} \frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\rbrace k \in \mathbb{Z}
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 45
  • cos(2x) = cos(3x)
\cos(2x) = \cos(3x) \Longleftrightarrow 2x = 3x + 2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} 2x = -3x+2k\pik \in \mathbb{Z}
\Longleftrightarrow x = 2k\pi \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} x = \frac{2k\pi}{5}k \in \mathbb{Z}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace \frac{2k\pi}{5} \rbrace k \in \mathbb{Z}
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 46
  • \cos(x) = \sin(2x)
\sin(2x) = 2\sin(x) \cos(x), \text{ ainsi : }\\ \cos(x) = \sin(2x) \Longleftrightarrow \cos(x)[2\sin(x) - 1] = 0 \\ \Longleftrightarrow \cos(x) = 0  \text{ ou } \sin(x) = \frac12
\cos(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pik \in \mathbb{Z}
\sin(x) = \frac12 \Longleftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pik \in \mathbb{Z}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace \frac{\pi}{2} + k\pi ; \frac{\pi}{6} + 2k\pi ; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi , k \in \mathbb{Z}\rbrace .
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 47




exercice 10

  • \sin x < \dfrac12
On trace la droite d'équation y = 1/2 et le cercle trigonométrique.
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 48

les abscisses des points A et B sont les solutions sur \left[0; 2\pi \right] de l'équation \sin x = \frac12.
Les solutions de l'inéquation \sin x < \frac12 sont les abscisses des points situés sur le demi-arc inférieur d'extrémités A et B.
D'où : \mathcal{S} = \left[0; \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{6}; 2\pi[.
  • 2\cos x - \sqrt{2} < 0
Cette inéquation est équivalente à \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}.
Traçons la droite d'équation x = \frac{\sqrt{2}}{2} et notons A et B les points d'intersection de cette droite avec le cercle trigonométrique.
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 49

D'où : \mathcal{S} = \left[\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right]
  • \cos x > \frac{-\sqrt{3}}{2}
Même démarche : traçons la droite d'équation x = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions - terminale : image 50

D'où : \mathcal{S} = [0,\frac{5\pi}{6}] \cup [\frac{7\pi}{6};2\pi[
  • \sin(x)\cos(x) < 0
1ère méthode: Rappel: sin(2x) = 2sin(x) cos(x).
L'inéquation est donc équivalente à : sin(2x) < 0.
Il faut dans un premier temps résoudre sin X < 0 : \mathcal{S_1} = [k\p; 2k\pi[, où k\in \mathbb{Z}.
Alors 2x \in [k\pi; 2k\pi[, ce qui équivaut à x \in [\frac{k\pi}{2}+k\pi;k\pi[k \in \mathbb{Z}.
Les solutions dans [0; 2\pi[ de cette inéquation sont donc: \mathcal{S} = [\frac{\pi}{2}; \pi[ \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[.
2ème méthode : pour que le produit sin(x) cos(x) soit négatif il faut que sin(x) et cos(x) soit de signe différent, il y a donc deux quarts de cercle et on retrouve le même ensemble de solutions.
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