Bonjour,
Merci,elle devrait plaire:

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Je pars de N=  100(x+y+z)+z-x    donc rien avant 602
x+y+z aura beaucoup de variantes et z-x aussi
Je cherche donc  dans cette voie.....

J'ai essayé une approche arithmétique en regardant du côté du théorème du reste chinois sans grand succès.
Je suis donc retourné vers mon ami python. En effet, il est relativement facile de compter le nombre de combinaisons possibles pour tous les N en utilisant la programmation dynamique.

Soit les 3 pièces de valeurs 99, 100 et 101, de combien de façon est-il possible de rendre la somme N = f(N,(99,100,101))?
Cas de base, si N est 0 alors il n'y a qu'une façon. f(0,???) = 1
Autre cas de base, si N > 0 et qu'on a pas de pièces possibles alors il n'y a aucune façon. f(N,()) = 0
Sinon si N est plus grand que la première pièce alors soit on utilise la première pièce, soit on ne l'utilise pas. f(N,(99,100,101)) = f(N-99,(99,100,101)) + f(N,(100,101))

Si on a une séquence 99  f(n,(99,100,101)) successifs qui sont plus grand que 1 alors on ne trouvera plus d'autre solution et on peut s'arrêter.

Cela donne l'algorithme et la solutions suivants :

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def solve(coins=(99,100,101)):
   coins = sorted(coins)
   count = [[1] for coin in coins]
   np,n = 0,1
   while n-np <= coins[0]:
      for i,c in enumerate(coins):
         v = 0
         if n >= c :
            v += count[i][n-c]
         if i > 0:
            v += count[i-1][n]
         count[i].append(v)
      if count[-1][n] == 1:
            np = n
      n += 1
   return np

# solve((99,100,101) = 4951

Suite

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si l'ordre est x<y<z il n'y a pas de solution.
Sinon pour  5251 il y a en une mais qu delà...

Bonsoir littlefox,

  

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Ton algorithme renvoie

   Il doit y avoir quelque chose qui ne va pas:

    dans le fil mis en lien, il  est prouvé que l'équation:

     admet une unique solution de triplets d'entiers naturels non nuls à savoir

   On a donc

Suite,

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Pour 5251  
je reste dans ma logique N=(x+y+z  )X100 +z-x
aucune solution si x<y<z
donc x>z
Avec x+y+z= s= 53
soit 53 x100=5300
on cherche     x-z =   =5300-5251 =49
x=50 et z=1 et y=2

salut

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généralisons :



on a donc deux écritures .... sauf si ....

je note R(n, x, y, z) la propriété n =99x + 100y + 101z et x > 0 et y > 0 et z > 0

alors pour tout p entier de ...

Bonsoir,
Merci lake pour ce sujet
Une piste pas vraiment aboutie :

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Si 99x + 100y + 101z = N alors
99(x+1) + 100(y-2) + 101(z+1) = N
et
99(x-1) + 100(y+2) + 101(z-1) = N

Pour l'unicité, il faut donc y 2 et x1 ou z1 .
Autrement la solution unique doit vérifier
y = 1 ou 2 et x = 1
ou
y = 1 ou 2 et z = 1

@lake, c'est le "non nul" qui ne va pas

En remplaçant :
99x+100y+101z = N
99(x-1)+100(y-1)+101(z-1) = N-99-100-101
99x'+100y'+101z' = N-300

Ma réponse résout la troisième forme (x', y' et z' sont des naturels qui peuvent être zéro) donc la réponse est :

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N-300 = 4951 donc N = 5251, pas plus

Bonjour,

  >>dpi,

  

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Oui, une unique solution pour . En supposant que cette valeur est le maximum cherché (c'est le cas), il faut prouver qu'il existe au moins deux solutions si

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De bonnes idées mais j'aimerais voir ce qu'il y a derrière les points de suspension.
    Maintenant, si j'affirme que 5251 (et donc "pas plus" ) est le maximum cherché ... (moi aussi je mets des points de suspension)

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Tu es arrivée proprement a de bonnes conclusions quant à la forme des solutions uniques. Mais je crains, sans certitude, qu'elles ne permettent pas de déterminer le maximum cherché.  Il vaut effectivement 5251. La suite consiste à prouver que pour , l'équation admet au moins deux solutions.

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Bravo! Toi et Python faites un joli couple!

Bonjour,
@lake,
Il ne faut pas regretter d'initier un fil sous prétexte qu'on ne trouve pas de réponse totalement satisfaisante.
Notre envie de participer et le plaisir de chercher comptent
Un petit complément inspiré par le message de carpediem :

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En notant E_N l'équation 99x + 100y + 101z = N . On cherche les solutions dont les termes sont dans ^* .
Si (a,b,c) solution de E_N alors (a+1,b,c+1) et (a,b+2,c) sont 2 solutions de E_N+200 .
Il suffit donc de démontrer que E_N a plus d'une solution pour 5251 < N < 5451 .

Bonjour Sylvieg,

  

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C'est à peu de chose près la solution que j'ai sous les yeux; je la donne parce qu'il n'y a plus guère d'intérêt à s'escrimer maintenant:

   On exhibe deux solutions pour chacune des équations:

pour en considérant les cas:

   : solutions et

  : solutions et

  : solutions et

: solutions et

Pour , on ajoute 1 à aux solutions pour

  Bref, affreux et rien pour ce 5251

  A ma décharge, j'ai posté l'exercice avant d'avoir une solution.

Je crois que je tiens une solution plutôt élégante pour ce 5251 (pas de python, juré )

On a une structure particulière du nombre de solution pour les N parce que les valeurs (99, 100, 101) sont de la forme (a-1, a, a+1).

Il y a une solution pour N = 300. Pareil pour N = 399, 400, 401. Ensuite le premier N avec 2 solutions est 500, avec une solution pour 498, 499, 501 et 502. En continuant comme ça on voit apparaitre la structure :

i    N +-  
0  300  0       ...010...
1  400  1      ...01110...
2  500  2     ...0112110...
3  600  3    ...011222110...
4  700  4   ...01122322110...
5  800  5  ...0112233322110...

Autrement dit, 5251 est la solution parce que 50 est le dernier i tel que 101*(i-1)+300 < 99*i+300.

Ça peut se généraliser à différents a ou à plus de constantes ainsi le dernier N tel que a une unique solution est donné par

Je n'ai pas le temps de regarder en détail ce soir. Mais je pensais aussi à regarder ce qui se passait à partir de 300 quand on ajoutait des 99, 100 ou 101

Oui Sylvieg
C'est ma piste depuis 04/02/16 h33 :
tout d'abord  disons  xyz >0
décomposons N =99x+100y+101z   =100(x+y+z) -x+z
N  exemple  5251 est formé de 52 centaines +51 unités ou de 53 centaines -49 unités
Dans ce cas  nous aurons   x+y+z=53 et x-z=49      --> y+2z=4  solution unique  y=2 z=1
et bien sûr x=50.
Dans notre étude,nous aurons 3 cas:
a/ pas de solution  (chaque fois que  la somme sera inférieure à la différence)
b/une solution unique quand  y+2z=4
c/des solutions multiples au delà
Exemple 1
5258  --->53  et 42 -->     1 1    décomposable en plusieurs solutions:
47,1,5   46,3,4  45,5,3  44,7,2 et  43,9,1

Exemple 2
Au delà de 6000 nous ne trouverons plus de  y+2z=4
donc on tombera dans a/ ou c/.

Suite,

Les N à solution unique sont espacés de 99:
697  796   895..........4360   5152  5251

Pas tous.

Les N de la forme 99x+100+101  sont espacés de 99. Ceux de la forme  99x+200+101 aussi.
Ceux de la forme 99+200+101z et ceux de la forme 99+100+101z sont espacés de 101.

Il n'y a plus de N avec solution unique quand les N de la forme 99x+100+101 se font rattraper par  ceux de la forme 99+200+101z.

Oui, si on regarde à gauche dans le triangle de LittleFox. Mais 101 si on regarde à droite.

J'arrive un peu tard

Bonjour,
Disposant d'un peu plus de temps, je me suis décidée à décortiquer le triangle de LittleFox en étudiant ce qui se passe autour de 300+100n .
J'ai cherché à exhiber les solutions quand il y en a plusieurs. Le bilan n'est pas d'une folle clarté...

Si e n alors ( 1+e , n-e+1 , 1 ) est solution de E_300+100n-e .
Si e n alors ( 1 , n-e+1 , 1+e ) est solution de E_300+100n+e .
Si n-e 2 alors ( 2+e , n-e-1 , 2 ) est une autre solution de E_300+100n-e .
Si n-e 2 alors ( 2 , n-e-1 , 2+e ) est une autre solution de E_300+100n+e .

E_N admet donc plusieurs solutions de N=300+100n-(n-2) à 300+100n+(n-2) .
Puis à nouveau de 300+100(n+1)-((n+1)-2) à 300+100(n+1)+((n+1)-2) .

Avec J_n = [302+99n ; 298+101n] , D = 298+101n est la borne droite de l'intervalle J_n
Avec J_n+1 = [401+99n ; 399+101n] , G = 401+99n est la borne gauche de l'intervalle J_n+1 .
Si D+1 G alors il n'y a pas d'entier entre D et G .
Il y a alors plusieurs solutions pour tous les N de 302+99n à 399+101n , .
G-D = 103-2n 1 n 51 .
A partir de 5351, la borne gauche de J₅₁, il ne peut plus y avoir unicité.

On regarde donc ce qui se passe entre J₅₁ et J₅₀ :
J₅₀ = [5252;5348] et J₅₁ = [5351;5449] .
E₅₃₄₉ a pour solutions (52,1,1) et (1,2,50) . E₅₃₅₀ a pour solutions (51,2,1) et (1,1,51) .
Il n'y a donc pas d'unicité entre J₅₀ et J₅₁.

On regarde ce qui se passe à gauche de J₅₀ et on tombe sur 5251

Trois remarques pour finir :
Les solutions de E₅₃₄₉ et E₅₃₅₀ peuvent se trouver en faisant ceci avec les 2 lignes tout là haut :
n = 50 avec e = 50 et 49 puis n = 51 avec e = 51 et 50 .

En utilisant ces 2 lignes, on peut directement écrire D+3 G au lieu de D+1 G .
On trouve alors n 50 . Pas de solution unique avant la borne gauche de J₅₀ .

Bravo à ceux qui ont eu le courage de tout lire

>Sylvieg

Pourquoi faire simple.........
Voir ma solution du 6/02/7h39...

@dpi,
A vrai dire, je n'ai pas réussi à comprendre ta solution du 6/02/7h39...

Je n'avais pas vu que c'était une solution non plus. Je pensais que c'était une étude qui avait d'ailleurs une suite dans le message suivant et pas de conclusion

Ça me rassure un peu
Une coquille dans ma seconde remarque :
Pas de solution unique à partir de la borne gauche de J₅₀ .

Bonjour à tous,

   Je n'ai pas vraiment le temps de décortiquer en profondeur vos solutions, mais de ce que j'entraperçois, je suis pratiquement convaincu que vous, Littlefox et Sylvieg, avez fait le tour de la question. Ce 5251 apparait maintenant clairement.

   Bravo à vous!

_{Un exo d'arithmétique dans le forum lycée me turlupine}

Bonjour lake,
_{Ce ne serait pas plutôt dans le forum supérieur ?}

_{Non, non, celui ci: Problème avec une solution "évidente" mais je n'arrive pas à montrer que c'est la seule.}

Bonjour,

Ma solution part de l'idée suivante:
Soit N  =  100a+b                 0<b<100
On cherche N= 99x+100y+101z ce qui revient à dire  100(x+y+z)-(x+z)
mettons N  sous la forme  100 (a+1)-(100-b) .
Les deux présentations sont identiques:
exemple 5251 peut s'écrire   53(100)-49   --->x+y+z=53  et x+z=49  --->y+2z=4
Pour clarifier on admet  xyz
La solution sera unique   y=2,z=1  et x=50
On  voit que si  y+2z <4 il n'y aura pas de solution (surtout négative ) et que si y+2z>4  il  y en aura plusieurs
On voit aussi que les solutions uniques sont espacées de 99
Test 5152    --->52/48       52-48 = 4    x=49 ,y=2,z=1
Au delà  testons  5350   ---> 54/50     54-50 = 4   solution unique   51,2,1
Plus loin  7627---->77/73      77-73=4 solution unique    74,2,1

Ce n'est pas plus clair pour moi. Parlons nous de la même chose ?

"Pour clarifier on admet xyz" : Je ne vois pas pourquoi ni à quoi ça sert.

"On voit aussi que les solutions uniques sont espacées de 99" : Nous avons déjà répondu non à ça.

Par ailleurs, des tests ou exemples ne démontrent rien.

Quant à 7627 , il a plusieurs solutions avec xyz :
(74,2,1) (1,47,28) (2,45,29)

Suite,

Je n'avais pas vu que ce problème avait été posé en Lycée par KJjdizi le 3/2à17h01

Suite et fin....

Je vais essayer de me faire comprendre car j'ai fait le tour de la question.
On considère d'abord que x,y,z>0 et xyz (sinon il n'y aurait pas de solution unique...).
N peut être écrit  AB    (A = centaines) et B unités  (0B<50)
ou   A+1 100-B   (50<B<100).

N=99x+100y+101z---> =100(x+y+z)+(z-x)   ou  100(x+y+z) - (x-z).
Le signe set important
Tout vient de là  ....
Exemple 1 (B50 )    4337   --->  43 =x+y+z   37= z-x   --->6=2x+y
B>50                                 4364---->   44 =x+y+z    36 =x-z   --->8=2z+y
La différence donnant une solution unique est 4

On vérifie bien que 5251 ---> 53 =x+y+z     49=x-z    ---->4  = 2z+y    solution unique 50,2,1
On vérifie aussi qu'en dessous tous les cas uniques sont espacés de 99
de 697 à 5251.
Par contre au dessus cette fameuse différence sera supérieure à 4 et il n 'y aura plus
de solution unique.
Pour Sylvieg  effectivement 7627 admet 24solutions

Bonjour,
Je bloque dès la seconde ligne :

Citation :
xyz (sinon il n'y aurait pas de solution unique...).

a/si x=y ou y=z ou x=z  par définition il n'y aura pas de solution unique....
b/ je ne vois aucun intérêt de garder x= 0 ou y=0 ou z=0
A part ça il faut oublier ma seconde ligne et vérifier que mon approche fonctionne.
Sinon me  donner un contre-exemple.

Bonjour,
J'ai mis en forme une autre démonstration que j'espère plus facile à appréhender que celle du 8 à 7h07.
Au lieu d'une recherche des conditions sur N , c'est une recherche de ce que doivent vérifier les triplets (a,b,c) pour que 99x + 100y + 101z = 99a + 100b + 101c n'aie pas d'autre solution que (a,b,c).

D'une part 99a + 100b + 101c = 99(a+1) + 100(b-2) + 101(c+1) .
D'où : Si b>2 alors (a,b,c) n'est pas solution unique.

D'autre part 99a + 100b + 101c = 99(a-1) + 100(b+2) + 101(c-1) .
D'où : Si a>1 et c>1 alors (a,b,c) n'est pas solution unique.

Si (a,b,c) est solution unique alors b2 et a =1 ou b2 et c=1 .
Quatre cas : (1,2,c) avec c1 (1,1,c) avec c1 (a,1,1) avec a1 (a,2,1) avec a1

1) Avec (1,2,c)
991 + 1002 + 101c = 991 + 100103 + 101(c-100) . Pas d'unicité si c>=101 .
De plus 991 + 1002 + 101c = 99(102-c) + 100(2c-99) + 1011 . Pas d'unicité si 50c101 .
Bilan du 1) : Pas d'unicité si c 50 .
Donc, si E_N a une solution unique de la forme (1,2,c) , alors c49 et N 99+200+10149 =5248 .

2) Avec (1,1,c)
991 + 1001 + 101c = 99x1 + 100102 + 101(c-100) . Pas d'unicité si c101 .
De plus 991 + 1001 + 101c = 99(102-c) + 100(2c-100) + 1011 . Pas d'unicité si 51c101 .
Bilan du 2) : Pas d'unicité si c 51 .
Donc, si E_N a une solution unique de la forme (1,1,c) , alors c50 et N 99+100+10150 =5249 .

3) Avec (a,1,1)
99a + 1001 + 1011 = 99(a-100) + 100100 +1011 . Pas d'unicité si a101 .
99a + 1001 + 1011 = 991 + 100(2a-102) +101(102-a) . Pas d'unicité si 52a101 .
Bilan du 3) : Pas d'unicité si a 52 .
Donc, si E_N a une solution unique de la forme (a,1,1) , alors a51 et N 9951+100+101 =5250 .

4) Avec (a,2,1)
99a + 1002 + 1011 = 99(a-100) + 100101 +1011 . Pas d'unicité si a101 .
99a + 100x2 + 101x1 = 991 + 100(2a-101) +101(102-a) . Pas d'unicité si 51a101 .
Bilan du 4) : Pas d'unicité si a 51 .
Donc, si E_N a une solution unique de la forme (a,2,1) , alors a50 et N 9950+200+101 =5251 .

Conclusion : Si E_N a une solution unique alors N 5251 .
Il ne reste plus qu'à vérifier que E₅₂₅₁ n'a pas d'autre solution que (50,2,1).

J'aime bien
Les quatre cas correspondent aux quatre '1' aux bords de mes lignes dans mon triangle.

Bonjour Sylvieg,

  Là, c'est nickel! Il fallait le courage de mettre en forme tout ça pour finir avec 5251!

_{Une très bonne âme m'a signalé que mon "turlupinage" a été posé à l'IMO 1998}  

Bonjour lake,

Tu ne dis pas ce que tu penses de ma solution?

Bonjour dpi,

Je n'ai pas commenté parce que je ne comprends rien.

  

Citation :
On considère d'abord que x,y,z>0 et xyz (sinon il n'y aurait pas de solution unique...).

Je vois pourquoi j'ai perturbé Sylvieg avec  ma réserve:
Je voulais justement exclure le cas cité par lake .
Donc n 'en  tenez pas compte  et restons dans l'énoncé.

Une fois de plus  mettons  99x+100y+101z sous la forme   (x+y+z)100     +  (z-x )
ou  (x+y+z)100     -   (x-y)

La similitude  avec la lecture de N   =  A  centaines + B unités  est  évidente  si  <0<B 50
et  à  A centaines +1 -   (100-B) unités  si  50<B<100).
On obtient bien un système  d'équations.

Voir mes exemples précédents .