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Niveau seconde
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Problème

Posté par
KJjdizi
08-02-19 à 09:53

Trouver les entiers naturels >=3 à et b telque
ab²+b+7 divise a²b+a+b

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Problème 08-02-19 à 10:02
Posté par
KJjdizi
re : Problème 08-02-19 à 10:04

Désolé, j'ai oublié

Posté par
KJjdizi
re : Problème 08-02-19 à 10:33

Bonjour,svp de l'aide

Trouver les entiers naturels >=3 à et b telque
ab²+b+7 divise a²b+a+b

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 09-02-19 à 11:22

Bobjour,
Peut-être un début de piste :
Avec M et N entiers naturels non nuls,
si N divise M alors N M .

Pour a fixé, ab²+b+7 va plus ou moins vite dépasser a²b+a+b .

Posté par
lake
re : Problème 09-02-19 à 12:28

Bonjour,

  Ce qui mène plus ou moins péniblement à 3\leq b\leq a.

  (a,b)=(7k^2,7k) avec k\in\mathbb{N}^* est une famille de solutions. Mais est-ce la seule ?

Posté par
lake
re : sujets en rade 16-02-19 à 09:49

Bonjour,

La solution du premier lien est manifestement fausse, tu as raison.
Par contre celle du second me parait juste; il y a toute une flopée de ab^2 \\ à changer en a^2b et je crois que ça ne pose pas de problème.

Mais en voici une autre un peu moins laborieuse:

   Si ab^2+b+7 divise a^2b+a+b alors ab^2+b+7 divise a(ab^2+b+7)-b(a^2b+a+b)=7a-b^2

- Si 7a=b^2, alors b est multiple de 7 donc b=7k avec k\in\mathbb{N}^* et on obtient les couples solutions (a,b)=(7k^2,7k) qui conviennent.

- Si 7a\not=b^2, alors nécessairement ab^2+b+7\leq |7a-b^2|, d'où ab^2<|7a-b^2|  (1)
      
   * Si 7a<b^2, alors ab^2<b^2 donc a=0 (à éliminer).

   * Donc 7a>b^2 et (1)  implique ab^2<7a soit b^2<7 et b=1 ou b=2

        ** Si b=1, alors a+8 divise a^2+a+1 donc divise a^2+a+1-(a-7)(a+8)=57=3\times 19. D'où a=11 ou a=49 et les couples (a,b) correspondants (11,1) et (49,1).

       ** Si b=2, alors 4a+9 divise 2a^2+a+2 donc divise 8(2a^2+a+2)-(4a-7)(4a+9)=79 qui est premier. Nécessairement 4a+9=79 qui n'a pas de solution entière.

Reste les couples (a,b) solutions: (11,1);\quad (49,1) et (7k^2,7k) avec k\in\mathbb{N}^*

Si la modération passe par ici et le juge utile, elle pourra transférer cette solution dans le topic concerné: Problème



malou > je suis passée par là !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 16-02-19 à 09:57

Bonjour,
Si ab²+b+7 divise a²b+a+b alors ab²+b+7 divise b(a²b+a+b) - a(ab²+b+7) .
Donc ab²+b+7 divise b2-7a .

Trois cas ensuite : b²-7a > 0 b²-7a < 0 b²-7a = 0 .
Pour les 2 premiers cas, utiliser si N divise M alors N M .

Trouvé ici :

Posté par
lake
re : Problème 16-02-19 à 09:58

Bon, moi j'ai continué de l'autre côté

Posté par
malou Webmaster
re : Problème 16-02-19 à 10:21

revenu ici pour regrouper !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 16-02-19 à 10:47

Merci malou
A noter que nous avons traité un énoncé un peu différent, car sans la contrainte " 3 "

Posté par
lake
re : Problème 16-02-19 à 11:10

Merci malou

A vrai dire, je ne savais pas où poster (ici ou dans le forum site). Je t'ai laissée juge



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