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a algébrique eq. K[a] extension finie
Bonjour,
je voudrais démontrer l'équivalence suivante :
a algébrique sur K K[a] extension finie de K
J'ai donc pris un polynôme unitaire de degré dans K[X] annulant a (ie P(a)=0).
En effectuant la division euclidienne de tout polynôme F(X) de K[X] par P(X) on obtient que F(a)=R(a) où R est un polynôme de degré au plus d-1 (ie R(X)=p0+p1X+...+pd-1Xd-1)
Puisque K[a]={F(a), F(X) dans K[X]} on obtient que K[a]=Vect({p0,...,pd-1}).
Je n'arrive pas à poursuivre.
Salut.
Ce que tu as écrit n'a aucun sens les pi sont des scalaires.
Tu peux utiliser le fait que dans un sens. Ou continuer comme tu as commencé mais K[a] sera engendré par les puissances n-ieme de a pour n<d.
Et dans l'autre le fait que les puissances de a sont liés sur K.
Tu ne vois pas comment poursuivre? Normal tu as fini... Vect (1,a,...,a^(d-1)) est de dimension finie.
Pour la suite.Les puissances de a constituent une famille liée dans K[a].
On a donc montré que dim K[a]=d ?
Je ne comprend pas pourquoi Vect({1,..,ad-1}) donne la dimension de K[a]
{1,...,a^{d-1}} est donc une famille génératrice de cardinal finie d qui est par définition la dimension de K[a] ?
Non d n'est pas nécessairement la dimension car le système n'est que générateur...néanmoins cela suffit a affirmer que K[a] est de dim finie. Pour avoir une base il faut que tu considères le polynôme minimal de a, par le même raisonnement que dans ton premier message tu montre que son degré est le dimension de K[a].
Ben tu as un système générateur fini de l'espace...tu peux en extraire une base...qui sera de cardinal plus petit...en particulier fini.
On en a priori pas besoin pour prouver que l'espace K[a] est de dimension finie mais c'est juste pour te dire que le degré de n'importe quel polynome anulateur ne te donnera pas la dimension de K[a] la dimension c'est le degré du minimal.
Est ce que tu est convaincu que K[a] est ddimension finie?
Est ce que tu est convaincu que K[a] est ddimension finie?
Si je dis qu'un système de générateur de K[a] est {1,..,ad-1} qui est finie c'est bon?
Je remonte un peu ce topic en prenant un exemple concret.
Je voulais montrer que est une
-base de
.
Je commence la démonstration de la même manière :
Soit , c'est un polynôme non nul unitaire tel que
.
Quelque soit on a la D.E.
avec
et
Soit .
Par définition, .
D'ou : la famille
est une famille génératrice de
Comment montre-t-on que c'est une famille libre ?
Cela vient du fait que ?
Ok.
Mais dans le cas de , on a par la même raisonnement que la famille
est une famille génératrice.
Ici pour montrer qu'elle est libre !
la dimension étant égale au degré du polynôme minimal = 3, elle est génératrice à 3 éléments en dimension 3 : c'est une base.
Oupps!
Alors je reviens dans 20 min je fais ça (enfin j'essaye!).
Juste une question, comment utiliser l'isomorphisme dans cette démonstration ?
Est-ce justement pour le sens ?
Justement c'était pour le sens a algébrique implique K[a] finie...pour la réciproque ca nous aidera pas.
Oui c'est bien ce sens!
C'est juste que je suis curieux de voir l'utilisation de cet isomorphisme dans ce sens la, et non ce que l'on a fait ci-dessus.
Ben tu sais que K[X]/(P)=K[a], où je note P le polynome minimal et K[X]/(P) est de dimension finie donc K[a] est de dimension finie.
Je crois avoir déjà vu que K[X]/(P) est un corps et un K-ev de dimension le degré de P.
K étant un corps, K[X] est principal donc P irréductible équivaut à (P) est maximal d'où K[X]/(P) est un corps : c'est bien ça ?
En ce qui concerne la dimension, je ne vois pas pourquoi elle est liée au degré du polynôme ?
Oui K[X]/P est un corps il est isomorphe au corps K[a]...et la dimension de K[X]/P est le degré de P puisque 1,..,X^{d-1} (ou d est le degré de P) est une base de K[X]/P.
Ah oui tout simplement pour le corps.
Mais on tourne en rond non ?
Je ne vois pas comment tu trouves explicitement la base de K[X]/(P) ? Utilises-tu l'isomorphisme ?
Alors P étant unitaire, mettons de degré , on peut toujours écrire quelque soit F :
Je note la surjection canonique. On a
?
Oui enfin la on est aps dnas un anneau de polynome mais dans une anneau quotient quand je dis libre c'est bien sur dans K[X]/P
Ben suppose que Q=a0+a1 X+...+a_{d-1}X^{d-1}=0 dans K[X]/P ce qui signifie que P divise Q dans K[X] mais comme deg Q<deg P alors Q=0 et a0=...=a_{d-1}=0 et cette famille est libre...
Le fait qu'elle soi generatrice vient de la division eucilidienne comme tu l'as déja remarqué.
C'est le même raisonnement qui paraît dans un de mes tds mais je n'arrive pas à le comprendre :
.Déjà pourquoi P(X) divise Q(X) ?
Je note la surjection canonique; si Q(X)=0 alors s(Q(X))=0 ce qui équivaut à
: c'est donc un multiple de P, ok?
.Ensuite pourquoi le degré étant strictement inférieur implique que Q est nul ?
On écrit Q(X)=P(X)R(X) pour un certain R(X) dans K[X] (alors R(X) dans K[X] ou dans K[X]/(P) ?)
D'une part on a un polynôme de degré strictement inférieur à d et de l'autre un polynôme de degré exactement d que multiplie un autre polynôme : une seule solution, le polynôme nulle, ok?
R(X) est donc bien dans K[X] ?
Je ne vois pas le caractère générateur de la famille . J'en suis resté à
Ben pour tout polynôme F tu as F=PQ+R avec deg R<deg P soit R est dans Vect(1,..,x^{p-1})
Donc s(F)=s(R) qui est dans Vect(1,..,X^{p-1}) (et tout rigueur la classe de 1,...,X^{p-1} mais comme souvent on ne fait pas la différence.)
C'est ça mais il est vraiment tres tres evident que vect 1,...,X^{d-1} est inclus dnas K[X]/P c'est l'autre inclusion qu'on a montré dnas mon message précedent.
Donc si tu es d'accord on a montré que 1,..,X^{d-1} est libre et generatrice dans K[X]/P c'en est donc une base!
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