C'est faux en général, regarde Z et Z[X]

salut, c'est bizarre j'ai l'impression Rodrigo qeu ce que tu dis contredit une remarque de mon cours.

Bonjour

Rodrigo a raison! L'autre exemple étant [X] et [X,Y]

Bonjour,

Si A est factoriel, il en est de même de A[X].
C'est peut-être ce qu'il y a dans ton cours.

Cordialement
Frenicle

pourquoi n'est il pas euclidien ?

Parce qu'il n'est pas principal! L'idéal engendré par X et Y n'a pas de générateur unique!

si K est un corps, K[X] est principal, mais pas necessairement K[X,Y] ?

Eh, oui! la vie est dure! La notion de "factoriel" a en partie été introduite parce qu'elle passe d'un anneau à son anneau de polynômes, comme le dit frenicle

Un anneau de polynômes de plusieurs variables n'est jamais principal!

Si, on peut toujours à partir de A commutatif construire A[X]. Il y a des propriétés qui se transmettent de A à A[X] (on dit qu'elles sont héréditaires). Par exemple, l'intégrité ou la factorialité. Mais "être un corps", "être euclidien", "être principal" ne sont pas héréditaires.

il n'y a que ces 3 propriétés qui ne sont pas héréditaires ?

Je n'irais pas jusque là! Par exemple, je ne me souviens pas pour "intégralement clos". Ensuite il y a des histoires d'algébricité et de dimension algébrique, dont une partie encore ouvertes...

Conclusion: il est bon de savoir que le problème se pose... et attendre que quelqu'un le demande explicitement!

ok Camélia, ce sont des choses que l'on a pas encore vu, mais donc les 3 propriétés essentielles non héréditaires sont ces 3 là.

quand est-il des propriétés héréditaires ?

Justement: intégrité et factorialité (pour l'instant, il ne me vient rien d'autre à l'esprit).

noetherien ?

Je crois que oui, mais vérifie...

commutativité. (ben oui A[X]  avec A non commutatif ça existe )

Puisqu'on ne l'a pas dit explicitement je signale que Z[X]  n'est pas principal non plus.  (2,X) n'est pas pricipal.