Niveau Maths sup

A l aide; problème d équations paramétriques

Posté par Chadia (invité) 17-11-04 à 22:58

Bonjour j'ai un problème avec les équations paramétriques.

On considère dans l'espace R^3 un plan P d'équation cartésienne: ax+by+cz+d=0 et un point M de coordonnées (x0,y0,z0).
Ecrire l'équation paramétrique de la droite passant par M et orthogonale à P.
Calculer les coordonnées du point p(M), projection orthogonale de M sur P.
En déduire: la distance de M à P, puis les coordonnées du symétrique de M par rapport au plan P.

Posté par re : A l aide; problème d équations paramétriques 17-11-04 à 23:36

1/

le vecteur $\vec U$ de coordonnées $(a,b,c)$ est normal au plan $P$ .

Soit $\D_0$ la droite passant par $M_0$ orthogonale à $P$ .

$\D_0 = \{ M / \vec{M_0M} = \alpha \vec U , \alpha \in {\mathbb R} \}$

$M(x,y,z) \in \D_0 \Longleftrightarrow \exists \alpha \in {\mathbb R} \; / \; \{ \array{ x-x_0 = \alpha a \\ y-y_0 = \alpha b \\ z-z_0 = \alpha c }$

Une équation paramétrique de $\D_0$ est donc $\{ \array{ x = x_0 + \alpha a \\ y = y_0 + \alpha b \\ z = z_0 + \alpha c }$

2/

$p(M)(x_1,y_1,z_1)$ vérifie ${ \{p(M) \in \D \\ p(M) \in P } \Longleftrightarrow \exists \alpha \in {\mathbb R} \; / \; \{ \array{ x_1 = x_0 + \alpha a \\ y_1 = y_0 + \alpha b \\ z_1 = z_0 + \alpha c \\ a x_1 + b y_1 +c z_1 + d = 0}$
En reportant les 3 premières lignes dans la 4° on obtient :
$a x_0 + b y_0 + c z_0 + d + \alpha (a^2 + b^2 + c^2) = 0 \Longleftrightarrow \alpha = - \frac {a x_0 + b y_0 + c z_0 + d } {a^2 + b^2 + c^2}$

On remplace $\alpha$ pour obtenir $(x_1,y_1,z_1)$

On doit par la suite arriver à :
$d(M,P) = || \vec {Mp(M)} || = ||\alpha \vec U || = \frac {|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d |} { \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} }$

$\vec {Ms(M)} = 2 \vec {Mp(M)}$

Posté par Chadia (invité)re : A l aide; problème d équations paramétriques 18-11-04 à 01:37

Merci beaucoup

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