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A l aide; problème d équations paramétriques

Posté par Chadia (invité) 17-11-04 à 22:58

Bonjour j'ai un problème avec les équations paramétriques.

On considère dans l'espace R^3  un plan P d'équation cartésienne: ax+by+cz+d=0  et un point M de coordonnées (x0,y0,z0).
Ecrire l'équation paramétrique de la droite passant par M et orthogonale à P.  
Calculer les coordonnées du point p(M), projection orthogonale de M sur P.
En déduire: la distance de M à P, puis les coordonnées du symétrique de M par rapport au plan P.

Posté par
franzre : A l aide; problème d équations paramétriques 17-11-04 à 23:36

1/

le vecteur \vec U de coordonnées (a,b,c) est normal au plan P.

Soit \D_0 la droite passant par M_0 orthogonale à P.

\D_0 = \{ M / \vec{M_0M} = \alpha \vec U , \alpha \in {\mathbb R} \}

M(x,y,z) \in \D_0 \Longleftrightarrow \exists \alpha \in {\mathbb R} \; / \; \{ \array{ x-x_0 = \alpha a \\ y-y_0 = \alpha b \\ z-z_0 = \alpha c }


Une équation paramétrique de \D_0 est donc \{ \array{ x = x_0 + \alpha a \\ y = y_0 + \alpha b \\ z = z_0 + \alpha c }



2/

p(M)(x_1,y_1,z_1) vérifie { \{p(M) \in \D \\ p(M) \in P } \Longleftrightarrow \exists \alpha \in {\mathbb R} \; / \; \{ \array{ x_1 = x_0 + \alpha a \\ y_1 = y_0 + \alpha b \\ z_1 = z_0 + \alpha c \\ a x_1 + b y_1 +c z_1 + d = 0}
En reportant les 3 premières lignes dans la 4° on obtient :
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d + \alpha (a^2 + b^2 + c^2) = 0 \Longleftrightarrow \alpha = - \frac {a x_0 + b y_0 + c z_0 + d } {a^2 + b^2 + c^2}

On remplace \alpha pour obtenir (x_1,y_1,z_1)

On doit par la suite arriver à :
d(M,P) = || \vec {Mp(M)} || = ||\alpha \vec U || = \frac {|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d |} { \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} }


\vec {Ms(M)} = 2 \vec {Mp(M)}

Posté par Chadia (invité)re : A l aide; problème d équations paramétriques 18-11-04 à 01:37

Merci beaucoup


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