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A l aide svp je necessite vraimant votre aide !!
Bonjour svp il me faudrait un corrigé complet de cet exercice d'une part car je n'ai pas bien comprit ce point du chapitre (donc de bien pouvoir réviser) et d'autre part pour améliorrer ma rédaction
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;i ;j)
1)On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle . Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
2) Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur R, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe de f avec l'axe des abscisses.
1) Calculer la distance Pn en fonction de f(t) et de f ‘(t).
2) Déterminer un équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f définies sur R, strictement positives et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance Pn est une constante k.
3) Déterminer les fonctions f solutions de (Ek)
bonjour
permettez moi de vous répondre
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;i ;j)
1)On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle.
C a pour équation : y=exp(x)
Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le
point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection
de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante. ?
le point M élément de C a pour coordonnées (t,exp(t))
le point P a pour coordonnées (t,0)
la tangente en M à C a pour equation:
y-exp(t)=(exp(t))'(x-t)
ssi xexp(t)-y+(1-t)exp(t)=0
c'est l'équation de la tangente en M à C.
cette tangente coupe l'axe des abscisses au point N (t-1,0)
le vecteur PN=(t-1)i-ti=-i ; i étant le vecteur unité de l'axe
des abscisses.
donc ||PN||=||-i||=1 ; est constante et vaut 1 qq soit t.
2) Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur R,
strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement
positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe
représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t,0)
et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe
de f avec l'axe des abscisses.
1) Calculer la distance Pn en fonction de f(t) et de f ‘(t)?
l'équation de la tangente à C en M est:
y-f(t)=f'(t)(x-t)
xf'(t)-y+f(t)-tf'(t)=0
cette tangente coupe l'axe des abscisses au point N(t-f(t)/f'(t),0)
le vecteur PN=ON-OP
=(t-f(t)/f'(t))i-ti
= (-f(t)/f'(t))i
donc la distance ||PN||=||(-f(t)/f'(t))i||
=|(-f(t)/f'(t))|
=|f(t)/f'(t)|
= f(t)/f'(t) ; car f et
f' sont strictement positives.
donc qq soit t: ||PN||=f(t)/f'(t)
2) Déterminer un équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions
f définies sur R, strictement positives et dont la dérivée est strictement
positive, pour lesquelles la distance Pn est une constante k.
||PN|| est constante ssi ||PN||=k
ssif(t)/f'(t)
ssi f'(t)-f(t)/k=0
ssi f est solution de l'équation
différetielle (Ek) : y'-y/k=0 avec k>0.
3) Déterminer les fonctions f solutions de (Ek)
soit f une solution de (Ek)
alors f'(t)/f(t)=1/k
en intégrant les deux membres entre t et to on obtient:
ln|f(t)|-ln|f(to)|=(t-to)/k
ssi ln(|f(t)|/|f(to)|)=(t-to)/k
ssi |f(t)|/|f(to)|=exp((t-to)/k)
ssi |f(t)|=|f(to)|exp((t-to)/k)
comme f est strictement positive:
f(t)=f(to)exp((t-to)/k)
en retrouve la fonction exponentielle de la première question.
en définitive cet exo donne une propriété de la fonction exponentielle.
voila bon courage.
Merci infiniment Watik
Un seul doute vien perturber votre réflexion
Après une recherche de mon coté ce matin jai trouvé que les fonctions solutions
était de la forma C. e^(T/k) mais je n'ai pas trouvé de to kaije
donc bien fait de faux ?
Bonjour Luc,
En fait Watik a cherché les solutions de l'équation différentielle
(Ek) vérifiant une condition, ici l'image de f en une valeur
to étant égale à f(to).
Dans les solutions que tu as trouvé, on a f(T)=C.exp(T/k) où C est une
constante qui peut être déterminée en connaissant une valeur de f.
Si on écrit f(to)=C.exp(to/k), on obtient C=f(to)exp(-to/k)
Soit f(T)=f(to).exp((T-to)/k). Et on retrouve les solutions de Watik.
Donc tu n'as rien écrit de faux, tu as seulement écrit les solutions
de manière différentes.
@+
Je ne comprend pas toute cette partie
que signifie ||PN||
dans la derniere question, que veulent dire t et to?
Ya t-il un autre moyen de resoudre l'equation?
Tout d abord merci Watik tu m as debloqué d un lourd probleme cependant
une question sur ta reponse au 3) une integration est elle nécessaire
c un point assez sombre que je commence a peine a etudier en classe
je n est pas compris d où te viens l idée d'intégrer les deux
membres entre t et to ... ???
Bonsoir
bonjour
EN fait il s'agit de résoudre l'équation différentielle:
(Ek) : y'-y/k=0 avec k>0.
qui est une équation différentielle de premièr degré et linéaire et sans
second membre.
pour ce genre d'équation différentielle il y a deux méthodes pour
les résoudre:
1) vous procédez comme j'ai fait à la réponse 3) si vous avez bien
sur étudié l'intégration.
Il reste les conditions aux limites car dans les équa diff la solution
est déterminée par la donne de l'équa diff et des conditions
aux limites. D'où le to qui représente l'instant initial
(tout à fait) arbitraire) et la valeur de f en to.
2) vous procédez comme à expliqué Mr. Victor. Cette méthode a l'avantage
de ne pas utiliser l'intégration.
voila
j'espère que j'ai répondu à votre question.
bon courage
Merci beaucoup Watik
A bientot
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