Bonjour
je sais montrer que AB et BA ont meme valeurs propres. Pourquoi si AB diagonalisable et rg(AB)=rg(BA), alors BA est diagonalisable? Cela revient à se demander pourquoi les sous espaces propres de ces valeurs propres communes ont meme dimension ??
Merci
Bonjour, zobobo
Voici une démonstration du fait que "les sous-espaces propres de ces valeurs propres communes ont même dimension. "
Soit une valeur propre non nulle de AB et le sous-espace propre associé. La restriction de B à ce sous-espace propre est injective, parce que:
si Bx=0, alors ABx=0 donc donc x=0 (parce que )
Tout élément de est un vecteur propre pour BA puisque, avec des notations évidentes
contient donc un sous-espace vectoriel de dimension égale à la dimension de , et il est donc de dimension supérieure ou égale à la dimension de
AB et BA jouant un rôle symétrique, on a de même: .
Les deux sous-espaces propres ont donc même dimension.
Dans le cas où est valeur propre de AB ou BA , les deux sous-espaces propres associés ont même dimension puisque rg(AB)=rg(BA)
Salut tout le monde,
Une manière beaucoup plus violente de répondre à cette question dans le cas où k est infini: Polynôme caractéristique d'un produit.. (Poste 2).
Ayoub.
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