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Activité: Modèle de diffusion d'Ehrenfest (Matrices)
Bonjour à tous et à toutes et Bonne Année bien sur !! 
Alors pour bien commencer cette année 2013, j'ai un petit problème de maths à résoudre! Et franchement, je n'y arrive pas du tout (peut être a cause des bulles de champagne qui continue à enbuer mon cerveaux ^^ ).
Alors voici l'activité :
Pour étudier la diffusion d'un gaz à travers une paroi poreuse et discuter de l'irréversibilité éventuelle de celle-ci, les époux Ehrenfest ont proposé, en 1907, la démarche ci-après.
On considère deux urnes, A et B, et N particules réparties dans les deux urnes. A chaque étape, on choisit au hasard une particule et on la change d'urne.
Partie A - Simulateur avec tableur --> J'ai fait entièrement la partie A!
Partie B - Etude du cas N=2
On modélise la situation par des urnes contenant des boules identiques. On suppose qu'on a placé initialement deux boules dans l'urne A. Les urnes peuvent ensuite se trouver dans 3 situations possibles :
1) Les deux boules sont dans l'urne A
2) Chaque urne contient une boule
3) Les deux boules sont dans l'urne B.
Pour tout entier n, on note Xn la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne A au n-ième échange, et la matrice des probabilités :
Un= [P(Xn=0)] Ainsi, U0=(0)
[P(Xn=1)] (0)
[P(Xn=2)] (1)
1] Montrer que pour tout entier n
0, Un+1=A*Un, où
A=(0 1/2 0)
(1 0 1)
(0 1/2 0)
2] En déduire que pour tout entre n0, Un=An*U0
3] A l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de An en fonction de n, puis démontrer la conjecture.
4] La répartition des boules se stabilise-t'elle lorsque le nombre d'échanges devient grand?
Voilà et le problème c'est que je suis bloqué à la 1ère question ^^ je suis sure ça doit être un truc vraiment pas compliqué, mais je comprends pas du tout .. ^^' Pour m'aider, j'ai essayé de faire un schéma de la situation, mais ça m'a pas vraiment aidé non plus .. ^^
Donc si vous pouviez m'aider ça serait super, Merci d'avance 
J'ai trouvé ce théorème dans le livre , et j'pense que ça à un grand rapport mais, je n'arrive pas a faire le lien tout a fait : Soit une matrice carrée A dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.
1) Si les sommes des coefficients de A par la colonne sont égales à 1, alors:
- Il existe une matice colonne U à coefficients, positifs ou nuls (uniquement si aucune coefficient de A n'est nul), de somme égale à 1, telle que A*U=U
- Pour toute matrice colonne U0 à coefficients positifs ou nuls, de somme égale à 1, on définit la suite (Un) sur 
par Un+1=A*Un
Si la suite de matrices (Un) converge, alors sa limite U vérifie: A*U=U (cette convergence est assurée si aucun coefficient de A n'est nul).
2) Si les sommes des coefficents de A par colonne sont strictement inférieures à 1, alors la suite (An) converge vers la matrice nulle.
Est-ce que celà va si pour la question 1, je dis que:
Uo --> somme des coefficients = 1
A --> somme des coefficient de A par colonne = 1
Un est supérieur ou égal à 0 donc appartient à
Donc d'après le théorème (admis) cité dans le message précédent, j'en déduit que Un+1=A*Un?
Je me suis dit aussi que Un+1=A*Un était peut être une suite géométrique de raison q=A
Dans ce cas j'en déduit pour la quesion 2] que Un=U0*qn, c'est à dire Un=Uo*An
C'est celà? (j'ai l'impression de patauger dans de la gadoue.. ^^ )
pour la question 3 avec la calculatrice j'émets la conjecture que quand la puissance est positive An=(1/2 0 1/2)
(0 1 0)
(1/2 0 1/2)
et que quand la puissance est négative An= (0 1/2 0)
(1 0 1)
(0 1/2 0)
mince désolé, j'me suis trompée c'ets quand la puissance est paire*
et quand la puissance est impaire*
Oh je sais que c'est long à lire (et sans doute pas très passionant), mais personne ne peut m'aider? 
Bonsoir,
1) L' évènement correspond à 0 boule dans l' urne A à l' étape
Pour que cet évènement survienne, il faut nécessairement qu' à l' étape , il y ait une boule dans
(et donc une boule dans B) et que la boule de l' urne A ait été choisie (avec une probabilité
)
Autrement dit:
L' évènement correspond à 1 boules dans l' urne A à l' étape
Pour que cet évènement survienne, il faut nécessairement qu' à l' étape , soit il y ait 0 boule dans l' urne A et que ce soit une des 2 boules de B qui ait été choisie (avec une probabilité
!) soit il y ait 2 boules dans l' urne A et que ce soit une des deux boules de l' urne A qui ait été choisie (avec une probabilité
!)
Autrement dit
L' évènement correspond à 2 boules dans l' urne A à l' étape
Pour que cet évènement survienne, il faut nécessairement qu' à l' étape , il y ait 1 boules dans l' urne A (et donc une boule dans B) et que ce soit la boule de l' urne B qui ait été choisie (avec une probabilité
)
Autrement dit:
On a bien avec:
C' est un début...
2) Oui si on peut parler de suite de matrices (sinon récurrence)
Je préfère la récurrence quand on parle de matrices...
3) Oui:
Si est pair,
Si est impair,
La démonstration se fait en calculant et
puis une récurrence facile.
4) Pour les pairs non nuls, on a
Pour les impairs, on a
Il n' y a pas stabilisation de la répartition des boules quand le nombre d' échanges devient grand.
Ouf vraiment un grand Merci !! Ton aide m'a été très très précieuse, surtout pour la question 1 que vraiment je n'avais pas compris!
Pour la question 2 j'ai donc fait par récurrence et je trouve:
Initialisation : n=1
Un=(0) A1*U0=A*U0=Un
(1)
(0)
Hérédité: On suppose que pour un entier n, on a Un=An*U0
(Quand est-il de Un+1=An+1*U0?)
Un+1=A*Un=A*An*U0=An+1*U0
Donc l'hérédité est prouvé : Un+1=An*U0
3]
Initialisation :
n=2 A²=A*A=[calcul]=(1/2 0 1/2)
(0 1 0)
(1/2 0 1/2)
n=3 A3=A²*A=[Calcul]=A
Hérédité! On suppose que pour un entier n, on a si n est pair An=(1/2 0 1/2)
(0 1 0)
(1/2 0 1/2)
et si n est impair An=A
Si An+1 est impair : An est pair : An+1=An*A et un impair * un pair donne toujours un pair --> donc An=(1/2 0 1/2)
(0 1 0)
(1/2 0 1/2)
Si An+1 est pair: An est impair: An+1=An*A et un impair * un impair donne toujours un impair --> donc An=A
L'hérédité est prouvé ... ect !
C'est bien cela?
En tout cas encore un très très très grand merci!
En fait je viens de me rendre compte que j'avais écris de grosses bétises pour la question 3, pour la partie hérédité ^^ ..
j'y reréfléchis et je mets ce que je toruve, en tout cas c'est pas du tout ça!
donc je reprend juste la partie hérédité de la question 3 :
- An+1 est impair = An*A An est donc pair: ce qui donne en calculant An+1= (0 1/2 0)
(1 0 1)
(0 1/2 0)
Donc quand n est impair on a cette matrice la!
- An+1 est pair = An*A An est donc impair: ce qui donne en calculant An+1=(1/2 0 1/2)
(0 1 0)
(1/2 0 1/2)
Donc quand n est pair on a cette matrice la!
On vient donc de prouver l'hérédité et .. ect !
Est-ce cela ? Parce que ça me semble un peu trop simple ^^
Voilà comment je verrais la récurrence du 3)
Posons
On a: après calcul.
La propriété à démontrer est:
et
pour tout
L' initialisation est faite; on sait que:
et
(pour
)
Hérédité:
On suppose que: et
pour un certain rang
fixé.
Alors et
Et l' hérédité est prouvée.
Oui c'est vrai que en fait ce n'était vraiment pas compliqué! En tout cas un très très très grand merci pour ton aide!
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