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Niveau troisième
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agrandissement

Posté par
happouille
15-01-16 à 12:34

bonjour a tous
je coince sur l'exercice suivant  j'aurais besoin d'aide s'il vous plait

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle ABC mesure 4 cm .
Le triangle DEF est un agrandissement de coefficient 3.5 du triangle ABC.
Quelle est la longueur du cercle inscrit dans le triangle DEF ?


merci beaucoup

Posté par
flight
re : agrandissement 15-01-16 à 13:48

salut

avec un petit dessin : Aire (ABC)= Aire(OBC)+Aire(OAC)+Aire(OAB)=
1/.2*R*(BC+AC+AB).
DEF est obtenu par agrandissement tel que

DE=3,5.AB    FD = 3,5.BC  et  EF = 3,5.AC  

l'aire du triangle "agrandit" est  Aire(DEF)= 1/.2*R'*(DE+EF+FD).  avec R' le nouveau rayon
du cercle  Aire(DEF)= 1/.2*R'*(3,5BC+3,5AC+3,5AB)= 1/2*R'*(BC+AC+AB) =
1/2*R'*2*Aire(ABC)/R   donc   Aire(DEF)/Aire(ABC)= R'/R

Posté par
flight
re : agrandissement 15-01-16 à 13:52

j'ai fais quelques petites erreurs :

Aire(DEF)= 1/.2*R'*(3,5BC+3,5AC+3,5AB)= 1/2*R'*3,5*(BC+AC+AB) =
  donc   Aire(DEF)/Aire(ABC)= 3,5*(R'/R)

à toi ...

Posté par
flight
re : agrandissement 15-01-16 à 13:57

...reste  à trouver R' sachant que  Aire(DEF) = 3,5².Aire(ABC)

donc Aire(DEF)/Aire(ABC)= 3,5*(R'/R)  = 3,5².Aire(ABC)/Aire(ABC)

donc R'/R= 3,5  et R'=3,5.R   je te laisse finir les calculs

Posté par
mathafou Moderateur
re : agrandissement 15-01-16 à 13:58

Bonjour,

que de complications ... pour une résultat faux.

agrandissements :
tous les angles sont conservés

toutes les longueurs quelles qu'elles soient sont multipliées par le rapport d'agrandissement
que ce soit les côtés, le périmètre du triangle, les médianes, le rayon du cercle circonscrit, le périmètre du cercle inscrit etc etc ...

toutes les aires sont multipliées par le carré du rapport d'agrandissement

et dans l'espace, tous les volumes sont multipliés par le cube du rapport d'agrandissement

ces règles sont à savoir et juste à appliquer ici directement.

Posté par
mathafou Moderateur
re : agrandissement 15-01-16 à 14:01

le résultat n'est plus faux après correction entre temps, OK.
il n'empèche que c'est inutilement compliqué...
vu qu'on a directement "par définition" de "agrandissement" R' = R * 3.5

Posté par
happouille
re : agrandissement 15-01-16 à 14:05

merci beaucoup

Posté par
flight
re : agrandissement 15-01-16 à 14:10

salut mathafou , je reconnais que c'est un peu lourd mais j'ai voulu faire apparaitre un calcul de rapport de rayons en partant d'une demonstration detaillée

Posté par
mathafou Moderateur
re : agrandissement 15-01-16 à 14:19

tant qu'à faire tu as oublié de prouver que Aire(DEF) = 3,5².Aire(ABC)

Posté par
flight
re : agrandissement 16-01-16 à 22:10

bien joué mathafou :D  je suis griilé

bon prenons un triangle ABC d'aire   Aire(ABC)= 1/2*b*h  ( b la base et h la hauteur )
soit  un triangle A'B'C' d'aire   Aire(A'B'C')= 1/2*b'*h'  ( b la base et h la hauteur )

avec b'= 3,5.b   et h'=3,5.h  alors   Aire(A'B'C')= 1/2*3,5*b*3,5*h = 1/2*(3,5)²*b*h = 3,5²*Aire(ABC)

Posté par
mathafou Moderateur
re : agrandissement 16-01-16 à 22:22

Citation :
et h'=3,5.h
encore faudrait il le prouver, vu que pour l'instant on ne sait que et uniquement que le rapport d'agrandissement exact n'est que sur les côtés même du triangle et aucun autre "segment homologue"

(bon je pinaille grave, mais c'est juste pour bien montrer jusqu'où va mener cette histoire d'ignorer que "toutes les distances sont multipliées par k, donc et y compris directement le rayon du cercle inscrit")



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