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aide spe maths, arithmétique
1. A l'aide de la division euclidienne de a par 7, déterminer les restes possibles de la division euclidienne de a² par 7, puis de a au cube par 7.
2.On suppose que 7/ (a²+b²). Démontrer que 7 divise a et b. (on envisagera les 16 cas possibles.)
3.On suppose que 7/(a^3 +b^3 +c^3). Démontrer que 7 divise a, b ou c.
4.On suppose que 9/(a^3 +b^3 +c^3). Démontrer que 3 divise a, b ou c.
bonjour voici qqs indications:
1) le reste r de la division de a par 7 vérifie:
a=7q + r avec 0<=r<7
a²= 49q²+14qr+r²= 7(7q²+2qr)+r²
mais 0<= r²< 49 n'est pas le reste de la ddivision euclidienne de a² par 7.
il faut retenir les r tels que r²<7
concluez SVP.
faite de même pour a^3.
2)a²= 7(7q²+2qr)+r²
et b²= 7(7q'²+2q'r')+r'²
a²+b²=7(7q²+2qr + 7q'²+2q'r')+r²+r'²
si 7 divise a²+b² alors 7 divise r²+r'²
comme r est appartient à {0,1,2} de m^me r' alors:
si r=0 7 divise a et 7 divise r'²
comme r'² appartient à {0,1,4} et 7 divise r'² donc r'=0 et donc 7 divise b.
donc si r=0 alors r'=0 et 7 divise a et b.
si r=1 alors 7 divise 1+r'² qui appartient à {1,2,5} ce qui constitue une contradiction avec 7 divise 1+r'².
donc r est différent de 1.
faite de même pour r=2.
le seul cas possible est : r=r'=0
donc 7 divise a et b.
faite de m^me pour le reste de l'exercice.
bon courage
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