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aide svp
je n'arrive pas du tout, aidez moi svp...
on se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique f définie par
f(x)=kx(1-x) , k étant un paramètre qui dépend de l'environnement (k appartient à R).
dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million. l'effectif des coccinelles exprimé en million d'individus est approché pour l'anné n par un nombre réel Un, avec Un compris entre 0 et 1. par exemple, si pour l'année zéro il ya 300000 coccinelles on prendra Uo=0.3
on admet je l'évolution d'une année a l'autre obéit à la relation
un+1=f(un), f étant la fonction définie ci dessus
1. démontrer que si la suite (un) converge alors sa limite l vérifie la relation f(l)=l
2. supposons uo=0.4 et k=1
a) etudier le sens de variation de la suite (un)
b) montrer par récurrence que pour tout entier n, un compris entre 0 et 1
c) la suite (Un) est elle convergente ? si oui quelle est sa limite ?
d) que peut on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?
3) supposons U0=0.3 et k=1.8
a) étudier les variation de la fonction f sur [0.1] et montrer que f(1/2) appartient à [0;1/2]
b) en utilisant eventuellement un raisonnement par récurence,
- monter que pour tout n, Un compris entre 0 et 1/2
- établir que pour tout n, Un+1 est supérieur ou égal à Un
c) la suite (Un) est elle convergente ? si oui quelle est sa limite?
d) que peut on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?
merci d'avance...
1)
u(n+1)=f(un)
u(n+1) = k.U(n).(1-U(n))
Si Un converge, on a lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1), soit L cette limite.
On aurait alors:lim(n->oo) u(n+1) = lim(n->oo) [f(Un)]
soit L = f(L)
On aurait alors:lim(n->oo) u(n+1) = lim(n->oo) [k.U(n).(1-U(n))]
L = kL(1-L)
k(1-L) = 1
1-L = (1/k)
L = 1 - (1/k)
L = (k-1)/k
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2)
a)
u(n+1) = k.U(n).(1-U(n))
k = 1 ->
u(n+1) = U(n).(1-U(n))
u(n+1)-U(n) = U(n).(1-U(n)) - U(n)
u(n+1)-U(n) = -(U(n))²
u(n+1)-U(n) < 0
u(n+1) < U(n)
La suite Un est donc décroissante.
---
b)
Supposons 0 <= U(n) <= 1
u(n+1) = U(n).(1-U(n))
U(n) >=0 et (1-U(n)) >= 0 -> U(n+1) >= 0 (1)
g(x) = x.(1-x) avec x dans [0 ; 1]
g'(x) = 1 - 2x
g'(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/2[ -> g(x) est croissante.
g'(x) = 0 pour x = 1/2
g'(x) < 0 pour x dans ]1/2 ; 1] -> g(x) est décroissante.
g(x) est max pour x = 1/2, ce max vaut g(1/2) = 1/4
g(U(n)) = U(n).(1-U(n)) et U(n) est dans [0;1]
-> g(Un) <= (1/4)
U(n).(1-U(n)) <= 1/4
U(n+1) <= 1/4
et a fortiori U(n+1) <= 1 (2)
(1) et (2) -> 0 <= U(n+1) <= 1
On a donc montré que si 0 <= U(n) <= 1, on a aussi 0 <= U(n+1) <= 1 (3)
U(0) = 0,4 -> on a 0 <= U(0) <= 1
Comme on a 0 <= U(0) <= 1, par (3) on a aussi 0 <= U(1) <= 1
Comme on a 0 <= U(1) <= 1, par (3) on a aussi 0 <= U(2) <= 1
et ainsi de proche en proche, on a: 0 <= U(n) <= 1 pour tout n de N
---
c)
La suite Un est bornée et décroissante, elle est donc convergente.
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d)
Dans le point 1, on a montré que L = (k-1)/k
-> avec k = 1, L = 0.
A long terme, la population de coccinelles va disparaître.
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3)
a)
f(x)=1,8.x(1-x)
f '(x) = 1,8 - 3,6x
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/2[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/2
f '(x) < 0 pour x dans ]1/2 ; 1] -> f(x) est décroissante.
f(x) est max en x =1/2, ce max vaut f(1/2) = 1,8.(1/2).(1/2) = 0,45
f(0) = 0 et f(1) = 0
On conclut donc que pour x dans [0;1], on a 0 <= f(x) <= 0,45
donc a fortiori 0 <= f(x) <= 1/2
-> 0 <= f(1/2) <= 1/2
---
b)
u(n+1) = 1,8.U(n).(1-U(n))
et si 0 <= U(n) <= 1/2, on a 0<= f(U(n)) <= 1/2
Or f(U(n)) = 1,8.U(n).(1-U(n)) = U(n+1)
-> Si 0 <= U(n) <= 1/2, on a aussi 0 <= U(n+1) <= 1/2
Comme on a 0 <= U(0) <= 1/2, on a aussi 0 <= U(1) <= 1/2
Comme on a 0 <= U(1) <= 1/2, on a aussi 0 <= U(2) <= 1/2
et ainsi de proche en proche, on a 0 <= U(n) <= 1/2 pour tout n de N.
---
U(n+1) - U(n) = 1,8.U(n).(1-U(n)) - U(n)
U(n+1) - U(n) = 0,9.U(n) - 1,8(U(n))²
U(n+1) - U(n) = 0,9.U(n) (1 - 2U(n))
1-2U(n) >= 0 puisque 0 <= U(n) <= 1/2 pour tout n de N.
U(n) étant >= 0 -->
U(n+1) - U(n) >= 0
U(n+1) >= U(n)
La suite Un est donc croissante.
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c)
La suite Un est bornée et croissante -> elle converge.
On a: L = (k-1)/k = (1,8-1)/1,8 = 0,44444...
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d) A long terme, la population de coccinelle va tendre 0,44444 million d'individus.
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Sauf distraction. 
j'ai étudié la correction mais je ne comprends pas la réponses que vous avez donné pour le 1), je ne vois pas où on a vérifier que f(l)=l
1) Si une suite converge, les termes pour toutes les valeurs très grandes de n sont pratiquement égaux.
Mathématiquement, c'est traduit par: lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) = L (L étant la valeur vers laquelle tend la suite)
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Donc si la suite Un converge, on a:
lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) = L
lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) f(U(n)) = L
lim(n->oo) U(n) = f(lim(n->oo)U(n)) = L
lim(n->oo) U(n) = f(L) = L
f(L) = L
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Sauf distraction.
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