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aide svp sur les congruences, spé maths
bonjour!
un exercice de spécialité, pouriez vous m'aider afin de connaitre d'autres methodes de résolution
on souhaite démontrer par deux méthodes distinctes, que pour tt entier naturel n, 3 divise 2^3^n +1
1) montrer que pour tt entier a, a+1 divise a^3 +1
demontrer par récurrence que pour tt n, 3 divise 2^3^n +1
2) determiner selon la parité de l'entier p quel est le reste de la division euclidienne de 2^p par 3
en déduire que pour tt n, 3 divise 2^3^n +1
bonjour,
2^1=2 (3)
2^2=1 (3)
2^3=2 (3)
2^4=1 (3)
...
2^(2q+1)=2 => 2^p=2 si p impair
comme p=3^n et que quelque soit n, 3^n est impair => p=2q+1 => 2^3^n=2^p=2^(2q+1)= 2 (3)
donc 2^3^n + 1 = 3 (3) = 0 (3)
2^3^n + 1 est divisible par 3
Philoux
Re
après le 2), le 1)
a^3+1 est tel que -1 l'annule => a^3+1 est factorisable par (a-(-1))=(a+1)
en effet : a^3+1=(a+1)(a²-a+1)
a+1 divise a^3+1
Philoux
vérifions que 3 divise 2^3^0 + 1 => 3 divise 2^1 + 1 => 3 divise 3 : VRAIE pour n=0
supposons que 3 divise 2^3^n + 1
2^3^(n+1) + 1 = (2^(3*3^n) + 1 = (2^3^n)^3 + 1
si on pose a=2^3^n => a^3 + 1 = (a+1)(a²-a+1) = (2^3^n + 1)P(a)
or 3 divise 2^3^n + 1 => 3 divise (2^3^n)^3+1
3 divise 2^3^(n+1) + 1
c'est donc démontré pour tout n
Philoux
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