Voila je suis bloqué a une question de cet exercice sur le calcul d'intégrale.

Le but de cet exercice est de montrer que Lim Sn = 2 /Pi
(n--> +inf)

où Sn= (1/n)[f(0)+f(1/n)+f(2/n).....+f(n-1/n)] e n est naturel strictement supérieur a 2 et f(x)=sin(Pix)

pour la question a) il demandait de prouver que 1+e^i Pi/n +e^i 2Pi/n + ... +e^i (n-1)Pi/n= 2/(1-e^iPi/n)

On remarque directement que c'est une suite Géométrique de raison e^iPi/n et on prouve facilement l'égalité

Mais moi je bloque a la question suivante lorsqu'il demande d'en déduire que

sin(Pi/n)+sin(2Pi/n)......+sin((n-1)Pi/n)= (cosPi/(2n))/(sinPi/(2n))

puis finalement de prouver que Lim Sn = 2 /Pi
(n--> +inf)

Aidez moi SVP

Bonjour,

extrait de la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Pour de nombreuses raisons.

Pour mémoire, le multi-post consiste à reposer une même question dans un sujet différent , ou à poser des questions successives d'un même problème dans des sujets différents.

De même, une demande identique sur plusieurs sites sera considérée comme un multipost et la discussion pourra être fermée par un modérateur.

Etant donné tous les désagréments créés par le multi-post, le non-respect de cette règle entraînera votre exclusion temporaire ou définitive du forum !

Voici maintenant quelques raisons qui font que nous combattons avec autant d'ardeur le multi-post (et ses adeptes ) :

• La perte de temps pour les modérateurs qui consacrent leur temps bénévolement pour garantir la qualité des sujets et des échanges sur le forum.
• Le respect du travail des correcteurs qui consacrent leur temps bénévolement pour aider ceux qui sollicitent de l'aide.
• La lisibilité du forum de manière à ce qu'un sujet ayant déjà reçu de l'aide soit facilement identifié et qu'un sujet n'en ayant pas encore reçu puisse à son tour en recevoir.

Rappelez-vous une nouvelle fois la règle d'or du forum :
1 sujet créé = 1 problème

QUESTION b):

Tout d'abord il faut remarquer que par définition :

   e^(i)=cos()+i*sin()

Donc sin(k*/n)= Im(e^(i*k*/n)) où Im représente la partie imaginaire du nombre complexe e^(i*k*/n).

Reprenons maintenant la question précèdente où l'on a démontré que :

    1+ e^(i*/n) + e^(i*2/n) + ... + e^(i*(n-1)/n)= 2/(1-e^(i*/n))

e^(i*0/n)+e^(i*/n) +e^(i*2/n) + ... +e^(i*(n-1)/n)= 2/(1-e^(i*/n))

et remplacons e^(i*/n) par son autre forme, soit :

    [cos(0*/n)+i*sin(0*/n)] + [cos(/n)+i*sin(/n)] + [cos(2*/n)+i*sin(2*/n)] + ... + [cos((n-1)*/n)+i*sin((n-1)*/n)] + [cos(n*/n)+i*sin(n*/n)] = 2/(1-[cos(/n)+i*sin(/n)])

[1 + cos(/n)+ cos(2*/n) + ... + cos((n-1)*/n) - 1]+ i*[sin(/n) + sin(2*/n) + ... + sin((n-1)*/n)] = 2/(1-[cos(/n)+i*sin(/n)])

[cos(/n)+ cos(2*/n) + ... + cos((n-1)*/n)] + i*[sin(/n) + sin(2*/n) + ... + sin((n-1)*/n)]= 2/([1-cos(/n)] - i*sin(/n))    

Notons l'égalité précèdente (I).

On remarque donc la nécessité (pour simplifier la quantité à droite de l'égalité (I)) de se ramener à la forme demandée qui est :

    ...= cos(/(2n))/sin(/(2n))
       = 1/tan(/(2n))
       = cotan(/(2n))

NB :  cotan(X)=1/tan(X)

Simplifions donc en mutlipliant par l'expression conjuguée puis en développant :

2/([1-cos(/n)] - i*sin(/n)) = 2*[[1-cos(/n)] + i*sin(/n)]/[([1-cos(/n)] - i*sin(/n))*([1-cos(/n)] + i*sin(/n))]
          = 2*[[1-cos(/n)] + i*sin(/n)]/[1 - cos(/n) + i*sin(/n) - cos(/n) + cos²(/n) - i*cos(/n)*sin(/n) - i*sin(/n) + i*sin(/n)*cos(/n) - i²*sin²(/n)]
          = 2*[[1-cos(/n)] + i*sin(/n)]/[1 - 2*cos(/n) + cos²(/n) + sin²(/n)]
          = 2*[[1-cos(/n)] + i*sin(/n)]/[2*(1 - cos(/n))]
          = 1 + i*[sin(/n)/(1 - cos(/n))]

Ouf, on y arrive bientôt : il suffit enfin (après 1 an d'écriture de formules de m***e de sin et de cos) de remarquer que :

[sin(/n)/(1 - cos(/n))] = 1/tan(/(2n)) = cotan(/(2n))

DEMONSTRATION :

[sin(/n)/(1 - cos(/n))] = [sin(/(2n) + /(2n))/(1 - cos(/(2n) + /(2n))]
               = [2*cos(/(2n))*sin(/(2n))]/(1 - cos²(/(2n)) + sin²(/(2n)))
               = [2*cos(/(2n))*sin(/(2n))]/(cos²(/(2n)) + sin²(/(2n)) - cos²(/(2n)) + sin²(/(2n)))
               = [2*cos(/(2n))*sin(/(2n))]/(2*sin²(/(2n)))
               = cos(/(2n))/sin(/(2n))
               = cotan(/(2n))

       CQFD.

On vient donc de démontrer que :  

2/(1-e^(i*/n)) = 1 + i*[sin(/n)/(1 - cos(/n))] = 1 + i*[1/tan(/(2n))]

Remplacons donc cette égalité obtenue dans l'équation définie auparavant comme (I) :

[cos(/n)+ cos(2*/n) + ... + cos((n-1)*/n)] + i*[sin(/n) + sin(2*/n) + ... + sin((n-1)*/n)]= 1 + i*[1/tan(/(2n))]

Egalons enfin les parties imaginaires (avant que ma tête n'explose ) :

[sin(/n) + sin(2*/n) + ... + sin((n-1)*/n)] =  1/tan(/(2n))

                 CQFD.

QUESTION c):

Sn = (1/n)[f(0)+f(1/n)+f(2/n).....+f(n-1/n)]
   = (1/n)[sin(/n)+sin(2*/n)......+sin((n-1)/n)]
   = (1/n)/tan(/(2n))
   = 1/[n*tan(/(2n))]

Passons à la limite :

Lim (Sn) (n) = Lim [1/[n*tan(/(2n))]] (n)

On est dans le cas (comme de par hasard ) d'une forme indéterminée du type 0* puisque :

n    2n /(2n)0    n*0 = *0 est une forme indéterminée.

Levons donc cette indétermination : il faut pour cela se servir du fait (admis) que , k, (2*k+1)/2 :

0 tan()
On a alors (avec dans le cas présent = /(2n)):

Lim [1/[n*tan(/(2n))]] (n) = Lim [1/[n*(/(2n)]] (n)
      = Lim [1/(/2)] (n)
      = 2/(car cette quantité ne dépend plus de n)

Lim (Sn) (n) = 2/

       CQFD.

Voilà c'est fini, bon aller @@@+++ thierry dumont.