salut,

oui f est dérivable sur i et f'(x)=-ln(x)/x².
Cependant, ln(x) < 0 sur ]0,1[ !!! donc f est croissante sur cet intervalle puis décroissante sur [1,+[

M1(x1,y1): intersection de C avec abscisses. Donc y1 = 0 et f(x1)=y1=0
donc (1+ln(x1))/x1=0, x1 non nul.
cad 1+ln(x1)=0, soit ln(x1)=-1
ln est bijective sur I, x1 = e^-1

Donc M1(e^-1,0)

M2(x2,y2): tangente à C passe par O
La tangente t à C au point d'abscisse "a" a pour équation:
Y = f(a)+(X-a)f'(a)
cad: Y = (1+ln(a))/a - (X-a)ln(a)/a²
on souhaite que le point X=0, Y=0 appartienne à cette tangente T,
cad:
0 = (1+ln(a))/a +ln(a)/a
soit a= e^-1/2
et f(a)=e^1/2/2

Soit M2(e^-1/2,e^1/2/2)

M3(x3,y3): tangente parallèle à axe abscisses, cad le coeff directeur de la tangente en x3 est nul.
cf équation tangente précédente, le coeff directeur est le nombre dérivé en ce point:
f'(x3)=0
cad: -ln(x3)/(x3)² = 0, x3 non nul.
cad ln(x3)=0, soit x3 = 1
f(x3)=f(1)=1
donc M3(1,1)

M4(x4,y4): dérivée seconde en x4 s'annule.
f'(x)=-ln(x)/x².
f' est dérivable sur I et f''(x)=(2ln(x)-1)/x³
f''(x4)=0 équivaut à 2ln(x4)=1, cad ln(x4)=1/2
soit x4 = e^1/2
y4=f(x4)=f(e^1/2)=3/(2e^1/2)

M4(e^1/2,3/(2e^1/2))

b) x₁ = e^-1
x₂ = e^-1/2
x₃ = 1 = e⁰
x₄ = e^1/2

on remarque que: x_n+1= x_ne^1/2, pour n = 2,3 et 4.

progression géométrique de raison e^1/2