Bonjour,

quelle est l'expression de C?

Bonjour,

Il manque des éléments dans ton énoncé !!
C'est quoi la fonction f représentée par sa courbe C ??

J'avais oublié la première ligne...
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=4/e^x+1. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O.
Voilà l'énoncé est complet !

Je suppose que c'est bien ...
Dans ce cas il faut mettre des parenthèses... f(x)=4/(e^x+1) !

1) Commences par déterminer les coordonnées de B, U, pour ensuite calculer les longueurs OB et OU
Enfin l'aire A(x)=OU*OB

B à pour coordonnée : (0;1.5) et U : (0.75;0).
Donc (OB) mesure 1.5 et (OU) 0.75.
Alors A(x)=1.5*0.75=1.125.
C'est ça ? Il fallait trouver les coordonnées des points juste en lisant sur les axes ? il n'y avait pas de calcul ?
Merci !

Non !!

M est un point quelconque de C, donc ses coordonnées sont : .

B est le projeté de M sur l'axe des abscisses, donc ses coordonnées sont :
U est le projeté de M sur l'axe des ordonnées, donc ses coordonnées sont : .

On en déduit alors les longueurs OB et OU :

et

Tu en déduis ainsi l'aire A(x) du rectangle BOUM...

Je me disais bien que c'était un peu facile...
Donc l'aire de A(x) est 4x/(e^x+1) ?
Merci

Oui.

Du coup si je dérive 4x/(e^x+1) ça me donne :
(4(e^x+1)-4x*e^x)/(e^x+1)²
=(4e^x+4-4xe^x)/(e^x+1)²
=(4e^x(1-x)+4)/(e^x+1)²
C'est ça ?
Merci

bonjour

factorise plutôt que par 4 pour obtenir la forme qu'on te donne dans l'énoncé

Donc (4(e^x-xe^x+1)/(e^x+1)².
C'est du signe de e^x-xe^x+1, car on le multiplie par 4 ce qui ne change pas le signe, et on le divise par (e^x+1)² qui est forcément positif du au carré, donc le signe de change pas.
C'est ça ou il fau faire des calculs pour le prouver ?
Merci

c'est bien ça, ça suffit, pas la peine de justifier davantage

En revanche pour la 1)c) je ne vois pas trop comment m'y prendre...comment M peut avoir comme coordonnées (-1;0) et former un rectangle avec les points B ; O ; U.
Je ne dois pas être sur la bonne piste.
Merci

M a pour coordonnés (-1;f(-1)) et non pas (-1;0) puisque M appartient à la courbe C

oui mais comment prouver que l'aire est maximale ?

Des idées ?

C'est pour demain donc si quelqu'un pouvait m'aider ?!

Bonjour,

J'ai quand même des doutes sur ton énoncé...
D'après le texte, on définit la fonction A pour tout x de R+.
Or ton Alpha=-1 n'appartient même pas au domaine de définition...

Donc je doute quand même un peu sur la valeur de l'énoncé de Alpha=-1...

En effet, en représentant la courbe de la fonction A', on voit qu'elle change de signe en une valeur Alpha1.3 (et non -1 !!)...

Donc ta valeur de Alpha donnée en énoncé est un peu douteuse...

L'énoncé le plus complet que j'ai est :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=4/ex+1. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O.
Partie A
Soit g la fonction définie sur R par g(x)=e^x-xe^x.
1)Etudier les variations de g sur R et dresser le tableau de variation de g.
2)a)montrer que l'équation g(x)=1 admet une unique solution alpha dans l'intervalle [0;2].
    b)donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de alpha.
    c)démontrer que e^x = 1/(alpha -1)
3)a)démontrer que g(x)>0pour tout x<0
    b)déterminer le signe de g(x)+1.
Partie B
Soit M un point de C, et B et U les projetés respectifs de M sur l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
1) Soit A la fonction qui à tout x de R+, associe l'aire du rectangle BOUM.
    a)Déterminer A(x).
    b)Calculer A'(x) et montrer que A'(x) est du signe de e^x -xe^x+1.
    c)En déduire que l'aire du rectangle BOUM est maximal lorsque M a pour abscisses alpha.
2)Démontrer que la tangente T_alphaà la courbe Cdu point M d'abscisse alpha est parallèle à la droite (BU).
Voilà l'énonce complet mais je n'ai que la partie B à faire. Et je viens de comprendre que alpha n'étais donc pas égale à -1...excusez moi !

Je rectifie !
f(x)=4/e^x+1

Il manque encore quelque chose ?

qu'as-tu trouvé pour le tableau de signe de A'(x)

Croissant de -l'infini à 0 et décroissant de 0 à +l'infini avec un extremum de 1

Donc l'aire de BOUM est maximale lorsque M a pour abscisse alpha car c'est à alpha que la courbe change de signe, avant alpha l'aire augmente et après elle diminue c'est ça ?

effectivement!

Je peux justifier comme ça où il y a mieux ?
Et pour la derniere je commence deja par calculer la droite qui passe par BU ? Ou je m'y prends comment ?!

tu fais le tableau de signe de A'
puis le tableau de varition de A ce qui te donne ce que tu as dit et ça suffit
oui et cmt tu détermines l'équation d'une droite tangente en un point donné?

Avec cette formule :                   f'(a)(x-a)+f(a) ??

y=f'(a)(x-a)+f(a)

J'ai juste un petit problème : pour le tableau de signe de A' je n'arrive pas à calculer la valeur qui annule... comment faire ?

Il faut que je fasse : (4(e^x-xe^x+1)/(e^x+1)²=0 ?

Tu as dû traiter cette question lors de la partie A question 3b !!
A moins de tout revoir cette partie...

C'est Bon j'ai résolue le problème !
Maintenant pour le 2 de la partie B je n'arrive pas à trouver l'équation avec la formule ....

Comme bbjhakan le dit :

y = f'(a)(x-a) + f(a).

Ici ce sera plutôt y = f'()(x-) + f().
Avec le alpha que tu es sensé avoir trouvé lors de la question 2b de la partie A...

Lors du 2)b j'ai trouvé que alpha était compris entre 1,27 et 1,28

Ok, donc tu n'as plus qu'à exprimer f'() et f(). Puis ensuite remplacer.

comme le dit  fenamat; je pense également que c'est g(x)=-1
puis tu remarquerais alors que A'(x) est du signe de g(x)+1.
la solution de A'(x)=0 est donc
g(x)+1=0
g(x)=-1 solution notée

Bon, après vérification, c'est bien l'équation g(x)=-1 !! Et non pas g(x)=1...
Comme quoi une simple erreur d'écriture peut entraîner un véritable casse-tête par la suite, surtout pour les correcteurs que nous sommes !!!

On va reprendre tout l'exercice pour être clair sur ce qui a été fait (surtout cette partie A)

Partie A :
1a) On a donc :
.

Puisque pour tout réel x, e^x>0, g' est donc du signe de -x.
Alors on en déduit que g'(x)>0 sur ]-inf;0] et g'(x)<0 sur [0;+inf[.
Et par conséquent : g est croissante sur ]inf;0] et décroissante sur [0;+inf[.
De plus, pour compléter le tableau de variations de g, on a g(0)=e⁰=1.

2a) g est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0;2]. De plus, on a bien : , à savoir : .
Ainsi, par le TVI, l'équation g(x) = -1 (et non pas g(x)=1 !) admet une unique solution dans l'intervalle [0;2].

2b) A l'aide de la calculatrice, on a : et . Ainsi :

2c) Encore une petite erreur d'énoncé !! C'est e=... et non pas e^x=... !!
D'après la question 2b, on a donc :


<=>
<=>
<=>
<=> (car 1- = -(-1) )

3a) Il suffit de simplement calculer la limite de g en -infini (car on a déjà démontré que g est croissante sur ]-inf;0] )
On a : et
Ainsi, par somme de limites :
Par conséquent, pour tout x<0, g(x)>0.

3b) On sait que : . Donc :
Ainsi : g(x)+1>0 sur ]-inf;] et g(x)+1<0 sur [;+inf[.

Partie B :
1a) On a donc : OB=x et OU=4/(e^x+1). Ainsi :



1b) Tu as donc trouvé :
Or pour tout réel x, (e^x+1)²>0, donc A' est bien du signe de e^x-xe^x+1 soit encore g(x)+1.

1c) D'après la question 3b de la partie A, e^x-xe^x+1 > 0 sur ]-inf;] et e^x-xe^x+1 < 0 sur [;+inf[.
Par conséquent, A est croissante sur ]-inf;] et décroissante sur [;+inf[. Et ainsi A est maximal pour x=.

2) On a d'une part :
et .
Donc tu peux en déduire un vecteur directeur de la droite (BU)

D'autre part :
La tangente T à la courbe C du point M d'abscisse alpha a pour équation :
Il reste à calculer f'().

On a :
Ainsi :


Or d'après la question 2c de la partie A : .
A réinjecter pour trouver la valeur de f'() et ainsi trouver le coefficient directeur de ta tangente.

Merci beaucoup pour cette correction ! et désolé pour les erreurs qui se sont glissées !...
lorsque j'applique la formule y=f'(x)(x-)+f(a).
Je me retrouve avec des calcules très étrange et j'arrive à un résultat pas très habituel....
y=e(-4x-4)+4(e^x+1)
Je crois que c'est lorsque je multiplie f'(x)par (x-) que je me trompe mais impossible de voir ou...

Il faut utiliser la question 2c de la partie A comme je l'ai dit plus haut !
Tu as donc :





Et ainsi : .

Or ici on te demande simplement de démontrer que la tangente est parallèle à la droite (BU). Donc ici seul le coefficient directeur de l'équation de la tangente va nous intéresser !! A savoir justement la valeur de f'() qui est

Il ne te reste alors plus qu'à déterminer le coefficient directeur de la droite (BU)...

Quand je fais m= (yU-yB)/(xU-xB)  je remplace : 4/(e^x+1)-0)/0-x
(4/(e^x+1))/x/1=(4/ce^x+1))*1/x=4/xe^x-x c'est ça ?

Pour déterminer le coefficient de la droite (BU), on connaît déjà les coordonnées de B et U. On a :

et .

Avec : .

Ainsi .

Par conséquent, on en déduit alors assez facilement le coefficient directeur de la droite (BU) avec la formule :

.

En conclusion, la droite (BU) et l'équation de la tangente T ont même coefficient directeur .
Et on a bien démontré que la tangente T à la courbe C du point M d'abscisse est parallèle à la droite (BU).

PS : Tu sais à présent que l'aire est maximal au point M de coordonnées ( ; f() !!
De ce fait, tu en déduis aisément que les coordonnées de B sont ( ; 0) et U (0 ; f()

Merci beaucoup pour votre patience et votre aide fenamat84 et bbjhakan !