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Aire de l ensemble de Mandelbrot

Posté par
Fractal
09-04-05 à 23:07

L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points d'affixe c du plan complexe tels que la suite z_0=0 et z_(n+1)=(z_n)²+c soit bornée.

Bonjour,
l'ensemble de Mandelbrot est défini et bornée. Il doit donc être possible de calculer son "aire" (le terme est sans doute mal choisi mais je n'en connaît pas d'autre). Est-ce que quelqu'un d'entre vous à déjà entendu parler de cette aire? Quelqu'un a-t-il déjà travaillé dessus?
Merci d'avance.

Posté par Frip44 (invité)re : Aire de l ensemble de Mandelbrot 10-04-05 à 09:27

Bonjour Fractal...

Personnellement, je ne connais pas l'ensemble de Mandelbrot (et pour cause, je suis en 1ere)...mais notre ami Google me répond ça :

ou encore


En résumé, ces pages disent que cet ensemble de Mandelbrot est forcément inclus dans le cercle de rayon 2 et de centre (0,0) et que l'aire de cet ensemble est finie et son périmètre infini...

J'espère que ça peut t'aider...sinon désolé...

++
(^_^)Fripounet(^_^)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
aire de l ensemble de mandelbrot (noté M) 18-04-05 à 02:11

on considére la suite de polynomes définie par la relation récurrente: Po=X , Pn+1=(Pn)²+X pour n>=0
on note Mn={z complexe/ module(Pn(z))<=2}
il est alors facile d'etablir que la suite (Mn)n est une suite décroissante de compactes dont M est l'intersection
on peut donc légitimement penser que l'aire de M est la limite quant n tend vers l'infini des aires des Mn.

Posté par
otto
re : Aire de l ensemble de Mandelbrot 18-04-05 à 19:07

C'est plus que légitime, c'est un théorème:

Le lemme des classes monotone il me semble:
Si on a une intersection d'ensembles décroissants mesurables, alors la mesure de l'intersection est la limite des mesures (et évidemment l'intersection est mesurable).

Par contre je pense m'être trompé dans le nom, et confondre avec un autre théorème qui porte un nom similaire...

Reste à trouver la mesure m(Pn) en fonction de n...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
aire de l ensemble de mandelbrot 18-04-05 à 23:18

une relation de récurrence entre les m(Pn) suffirait pour calculer leur limite et determiner ainsi l'aire de M.

Posté par
otto
re : Aire de l ensemble de Mandelbrot 19-04-05 à 00:54

Ma ca semble non trivial....
Sauf mention contraire, < est large.

M0={z complexes| |z|<2}
la mesure est infinie...

M1={z complexes| |z|^2+|z|<2}

x^2+x<2 équivaut à:
x dans [-2,1]

si on pose x=|z|, notre problème est déjà plus facile, on a alors que
z est de module inférieur à 1.

Ainsi, si je ne me suis pas trompé, on a m(M1)=Pi

Et ainsi de suite, je vais voir ce qu'on peut en faire.
Sauf erreur, l'ensemble de Mandelbroot est déjà de mesure inférieure à Pi.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
aire de l ensemble de mandelbrot 19-04-05 à 02:22

Mo est le disque fermé de centre 0 et de rayon 2 on a donc
m(Mo)=4Pi
M1 ressemble à une ellipse (pleine),il a deux axes de symétrie orthogonaux : l'axe réel et la droite Re(z)=-1/2 et les frontiéres de Mo et M1 sont tangentes (intérieurement) au point d'affixe -2
(le point -2 est le seul qui est sur la frontiére de chaque Mn)
si on fait un changement d'origine -1/2 au lieu de 0 la frontiére de M1 à pour equation(x+1/2)²+y²)((x-1/2)²+y²)=4 soit encore:
(y²)²+(2x²+1/2)y²+(x²-1/4)²-4=0 et en tenant compte de la symétrie de M1 on a :
m(M1)=4*l'integrale entre 0 et 3/2 de la fonction : x -->((4+x²)^(1/2)-x²-1/4)^(1/2)

Posté par
otto
re : Aire de l ensemble de Mandelbrot 19-04-05 à 02:44

En effet grosse(s) bétise(s) de ma part...
Ca pourrait être intéressant de trouver une relation, mais comme dit plus haut, ca semble non trivial....

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
aire de l ensemble de mandelbrot 19-04-05 à 03:36

avec le programme maple on trouve:
m(M1)=6.25856923705024 (un peu moins que la moitié de l'aire de Mo)



Posté par
elhor_abdelali Correcteur
aire de l ensemble de mandelbrot 19-04-05 à 05:46

pour c complexe définissons la suite (zn)n par:zo=c,zn+1=zn²+c
une récurrense immédiate donne:zn=Pn(c) pour tout n>=0
(*)le fait d'initialiser la suite (zn)n à c au lieu de 0 ne fait que translater ses termes d'un rang et ne change par conséquent rien au fait qu'elle soit bornée ou non.
supposons maintenant que la suite (zn)n soit bornée et désignons par m la borne supérieure des modules de ses termes on a donc:
module(zn)<=m pour tout n (en particulier module(c)<=m)
comme zn+1=zn²+c on a: module(zn+1)>=(module(zn))²-module(c) donc:
m>=m²-m soit m<=2
donc si la suite (zn)n est bornée on a nécéssairement :
module(zn)<=2 pour tout n c'est à dire que: module(Pn(c))<=2 por tout entier naturel n .
ceci démontre que M est effectivement l'intersection des Mn .
d'autre part Mn etant l'image réciproque par Pn (continue)du disque fermé Mo on a Mn fermé.
je vais maintenant montrer que tous les Mn sont contenus dans Mo
soit c complexe tel que: module(c)>2
alors on a pour tout n: module(zn)>2 (on montrera par récurrence que module(zn)>=module(c))
ainsi si un nombre complexe n'est pas dans Mo il n'est dans aucun des Mn.conclure
Mn compacte(fermé borné)
je montre maintenant que Mn+1 est contenu dans Mn
soit c dans Mn+1 (il est donc dans Mo) on a:
module(Pn+1(c))+module(c)>=(module(Pn(c)))².conclure
Il s'agit donc bien d'une suite décroissante(au sens de l'inclusion)de compactes dont l'intersection est l'ensemble de Mandelbrot.

si on visionne quelques images de l'ensemble de mandelbrot sur internet on remarque ces formes (de couleurs différentes)qui se reférment de plus en plus sur M.Ce sont les Mn ou plus précisément les (Mn/Mn+1)c'est à dire l'ensemble des complexes c tels que
module(zn)<=2 et module(zn+1)>2 .



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