Niveau Maths sup

AL - dimension et noyau

Posté par koudboul (invité) 22-02-07 à 09:44

Bonjour

Comment fait-on pour résoudre ce problème ?

Soit f un endomorphisme de E, montrer que dim Ker f²2dim Ker f

Je ne vois pas du tout comment commencer

Posté par re : AL - dimension et noyau 22-02-07 à 12:22

Bonjour

Exercice classique :

$3$\rm ker(f)\subset Ker(f^{2})$ (trivial)

Soit $3$\rm p=dim(ker(f)) et q=dim(ker(f^{2}))-dim(ker(f))$

Il existe $\rm u_{1},...,u{p},v_{1},...,v_{q}\in E$ tels que :
$3$\rm (u_{1},...,u_{p}) est une base de Ker(f) et (u_{1},...,u_{p},v_{1},...,v_{p}) est une base de Ker(f^{2})$

Soit $3$\rm (\lambda_{1},...,\lamba_{q})\in K^{q}$ tel que $3$\rm \Bigsum_{i=1}^{q} \lambda_{i}f(v_{i})=0$
Il s'ensuit :
$3$\rm \Bigsum_{i=1}^{q} \lambda_{i}v_{i}\in Ker(f)$ et il existe par conséquent $3$\rm (\alpha_{1},...,\alpha_{p})\in K^{p}$ tel que $3$\rm \Bigsum_{i=1}^{q} \lambda_{i}v_{i}=\Bigsum_{j=1}^{p} \alpha_{j}u_{j}$

Comme $\rm (u_{1},...,u{p},v_{1},...,v_{q})$ est libre, il vient que $3$\rm \lambda_{1}=...=\lambda_{q}=0$
La famille $3$\rm (f(v_{i}))_{1\le i\le q}$ est donc libre.
Puisqu'en outre $3$\rm \forall i\in\{1,...,q\}, f(v_{i})\in Ker(f)$
On en déduit que $3$\rm q\le dim(Ker(f))=p$
Finalement:
$3$\rm dim(Ker(f^{2}))=p+q\le 2p=2dim(Ker(f))$

Posté par koudboul (invité)re : AL - dimension et noyau 22-02-07 à 14:43

Je n'aurais jamais eu l'idée de faire une telle démo

Merci beaucoup Nightmare

Posté par re : AL - dimension et noyau 22-02-07 à 14:49

De rien

Jord

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