Bonjour,

montre que leur intersection est réduite à 0 vu qu'on sait déja que tout élément s'écrit comme somme d'un élément de F et de G car (e1,....en) est une base.

.... et il te suffit de conclure en parlant des dimensions

Oui meme pas besoin de l'intersection en fait:

E=F+G et dim F+dim G=n.

Bonjour lolotte et Cauchy.

Ou même simplement évoquer l'unicité de l'écriture.

A plus RR.

je comprends pas en fait moi dans mon cours il faut que je démontre que E=F+G mais j'ai besoin de montrer avec F inter G=0, j'ai pas ton théorème cauchy.
moi je préfèrerai démontrer que dimF+dimG=E et F inter G =0
je débute mais je bloque voici ce que je pense faire est ce bon?
dim F=p car base de F
dim E=n
dim G= n-p
dim G+dim F= n-p+p=n =dim E
est ce que c'est bien jusitifié?

Mais comment faire pour l'intersection? j'ai pas compris ce que tu m'as dit

J'ai rectifié ce que j'ai dit dans mon premier message,tu n'as pas le théoreme:

E=F+G et dim F+dim G=n.

C'est équivalent à montrer que   dimF+dimG=dim E et F inter G =0.

Si tu avais un élément dans F et dans G alors il s'exprimerai comme combinaison linéaire des p premiers vecteurs de base et comme combinaison des n-p autres ce qui est impossible par unicité de l'écriture dans une base.

désolé mais je vois pas en quoi ca m'aide pour trouver F inter G=0 et ma partie sur les dimensions est elle juste?

Oui c'est juste.

Comment ca pour montrer que F inter G=0 tu prend un élément qui est dans les deux et tu regardes ce qui se passe.

Il se met sous la forme:

x=a1e1+.....apep=a(p+1)e(p+1)+....anen donc tu soustrais et utilise que tu as une base pour conclure.

désolé mais je viens de démarer ce cours et je comprends toujours pas

Bonjour.

Je reprends la méthode de Cauchy.
On a donc :
base de F = (e₁, ... , e_p)
base de G = (e_p+1, ... , e_n)

Soit x € EF. Alors :
x = x₁e₁ + ... + x_pe_p (car x dans F)
x = x_p+1e_p+1 + ... + x_ne_n (car x dans G)
Par soustraction :
x₁e₁ + ... + x_pe_p - x_p+1e_p+1 - ... - x_ne_n = 0. (I)
Or, la famille (e₁, ... , e_p , e_p+1, ... , e_n) est libre, donc, l'égalité (I) entraine la nullité de tous les coefficients x_i i compris entre 1 et n.
Donc : x = 0.

A plus RR.

merci c ok!

Je suis pas clair

Bonjour Cauchy.

Mais si, mais si tu es très clair !

A plus RR.

On se demande desfois