Bonjour thetoto

Pour la 1), il faut revenir à la définition : il faut prendre un élément (h,l) de l'un et un élément (g,k) de l'autre et montrer etc...

Pour la 2), il faut exhiber un isomorphisme (le plus simple possible)

Kaiser

bonsoir,
j'ai essayé de faire la question une mais j'ai un petit probleme:
Déja peut-on dire que H*L est un sous groupe de G*K car H est un sous groupe de G et L est un sous groupe de K ?

Ensuite pour montrer que H*L est distingué dans G*K, Je prends 2 éléments (h,l) et (g,k), et j'arrive à :  (gk)(hl)(k^-1g^-1). Je ne vois pas comment conclure ?

Merci d'avance

Dacord et merci pour ces précisions. On obtient (g,k)(h,l)(k^-1,h^-1) = (gh,kl)(k^-1,g^-1)= (H,L)(k^-1,g^-1)  car H et L sont des sous groupes . De là peut on en déduire que le produit appartient à H*L ?

Je ne comprends pas ce que sont H et L dans ton calcul.

Kaiser

Je voulais dire que  gh appartient à H, le sous groupe de G dans  l'ennoncé, et que de même kl appartient à L. Je ne peut pas l'ecrire comme ça?

disons que les notations H et L étaient déjà prises.
Mais bon, bref : essaie d'écrire ce produit sous la forme (a,b) où a et b sont des éléments à exprimer en fonction g,k, h et l.

Kaiser

ok. Alors on a : (a,b)=(ghk^-1,klg^-1) ?

non, ce n'est pas ça.
Quel est l'inverse du couple (g,k) ?

Kaiser

l'inverse du couple (g,k) est (k^-1,g^-1) ? non?

non !
tu confonds avec l'inverse d'un produit.
Pour l'inverse d'une couple, il faut prendre l'inverse de chaque composante.
autrement dit : .

Kaiser

je vois, donc l'inverse de (g,k) est (g^-1,k^-1) on a (ghg^-1,khk^-1) et comme h et l sont distingués dans G et K on a directement que tous ça appartient à (H,L).C'est bien çà?

Je reflechirais a la suite plus tard . MERCI

Je t'en prie !

Bonsoir,

Pour la question 2) je bloque car je n'ai pas réussi à montrer que Z est isomorphe à G.
Pour montrer que Z est distingué dans G*G, j'ai pris un couple (g,g) appartenant à G*G, et (x',x') appartenant à Z, es- ce correct?
Merci de bien vouloir me sortir de cette impasse...

Bonsoir

Franchement, pour montrer que Z est isomorphe à G, il ne faut chercher midi à quatorze heures (le plus simple qui soit).
Quelle est l'application la plus naturelle qui va de G dans Z ?

Pour montrer que Z est distingué dans , c'est un bon début. Ensuite ?

Kaiser

Dacord, ensuite j'arrive à (g,g)(x',x')(g^-1,g^-1)=(gx'g^-1,gx'g^-1) si G est abélien, on a (gg^-1x',gg^-1x')= (x',x') ce qui appartient bien à Z
Correcte?

oui !

Kaiser

ok, merci. Mais mon plus gros soucis reste à montrer que Z est isomorphe à G*G, pourrai-je avoir une piste?

Il reste l'autre sens à montrer : si Z est distingué, alors G est abélien.

Pour l'isomorphisme : tu prends un élément g de G et tu dois l'envoyer sur un élément de Z. Quel est l'élément le plus simple Z peux-tu former avec g ? (d'ailleurs, c'est Z isomorphe à G et non pas à G*G).

Kaiser

Oui c'est vrai; alors si Z est distingué on arrive à (gx'g-1,gx'g-1) apartient à Z ssi gx'g-1 apartient à G ?

j'ai dit une bêtise. Pour ce que tu as écris dans ton message de 21h45, ça ne suffit pas : un élément de s'écrit sous la forme (g,g') avec g et g' qui ne sont pas forcément égaux.
Kaiser

Ok, mais dans ce cas là je ne vois pas à quoi nous sert le fait que G soit abélien: on a (gx'g'-1,gx'g'-1).
J'ai une question; si G est abélien on a G*G abélien alors cela signifit que (g,g')=(g',g) ?

Non c'est le même raisonement pour (g,g') que pour (g,g). n'es-ce pas?

oui, c'est le même raisonnement.

Bonsoir,
Pour montrer que Z est isomorphe à G:
L'application la plus simple qui va de G dans Z est:
x (x,x)
non?

toutafé !
La seule chose qu'il faut vérifier est que cela définit bien un morphisme mais bon, c'est relativement évident.

Kaiser

Oui car f(x*y)=(x*y,x*y)=(x,x)(y,y)=f(x)*f(y)

MERCI beaucoup pour toutes ces précisions, ça ma permis de mieux comprendre les maths...

Mais je t'en prie !

J'oubliais : même si cela est évident il faut aussi vérifier le caractère bijectif.