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Algèbre
Bonjour,
j'ai un souci dans la résolution d'une question :
Soit X1 et X2 deux matrices de Mn1( C ) et Y1 et Y2 deux matrices de M1n( C )
Soit Rg ( X1Y1 + X2Y2 ) < ou = 1
Soit Y1 et Y2 sont linéairement indépendants
Montrer qu'il existe Z1 et Z2 appartenant à Mn1( C ) tels que :
Y1Z1 = 1 , Y2Z1=0 , Y1Z2=0 et Y2Z2=1
je suis bloqué 
Bonjour, Shake.
Tu poses en fait deux questions.
Si Y1 et Y2 sont liés, il est clair que le rang de (X1Y1+X2Y2) est inférieur ou égal à 1 puisque toutes les colonnes de la matrice (X1Y1+X2Y2) sont une combinaison linéaire des vecteurs Y1 et Y2.
D'où la première assertion:
soit le rang de (X1Y1+X2Y2) est inférieur ou égal à 1, soit Y1 et Y2 sont indépendants (les deux possibilités ne s'excluant pas mutuellement).
On est maintenant dans le cas où Y1 et Y2 sont indépendants. L'application f2: Z->Y2Z est une forme linéaire dont la matrice est égale à Y2. De même, l'application f1: Z->Y1Z est une forme linéaire dont la matrice est Y1. Comme Y1 et Y2 ne sont pas colinéaires, ces deux formes linéaires f1 et f2 ne sont pas colinéaires, et le noyau de f2 n'est donc pas inclus dans le noyau de f1 (revoir le cours sur la dualité). Il existe donc Z dans le noyau de f2, n'appartenant pas au noyau de f1. On choisira:
Z_1 vérifie bien les propiétés que tu recherches.
Pour Z_2, c'est la même idée.
Merci perroquet j'ai bien compris cette méthode
je voudrais avoir ton avis sur une démo :
Y1 et Y2 étant indépendants dans M1n( C ) on a alors DimVect(Y1,Y2))=2
c'est donc un plan. On prend un vecteur X de ce plan tel que Y1X=0 et tel que Y2X différent de 0 alors en posant Z1= X /( Y2X ) on a bien Y1Z1= 0 et Y2Z1=1
On prend un vecteur X de ce plan tel que Y1X=0 et tel que Y2X différent de 0
X n'est pas dans Vect(Y1,Y2) (qui est un sous-espace vectoriel de M_{1,n}(C)), puisqu'on le choisit dans M_{n,1}(C).
On peut adapter cette démo en munissant M_{1,n}(C) du produit scalaire
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