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Algebre,anneau principal,exercice type
Bonjour à tous,j'aurais besoin d'un coup de main:
>Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A.
On note s:A->A/I la surjection canonique.
a)Soit J un idéal de A.Montrer que s(J) est un idéal de A/I
b)Soit P un idéal de l'anneau quotient A/I.Montrer que s-1(P) est un idéal de A contenant I.
c)On suppose que A est un anneau principal.Montrer que tout idéal de A/I est un idéal principal.Déterminer les idéaux de Z/nZ
d)Déterminer pour quelles valeurs de n l'anneau Z/nZ est un anneau principal.
Voilà.
Je ne parviens pas meme à commencer!
Re!
Dans la question 1, c'est une proposition du cours:
si f: A-> B est un homomorphisme d'anneaux et si f surjectif alors pour tout idéal I de A, f(I) est un idéal de B.
De même que la question 2.
si J est un idéal de B, alors F^{-1}(J) est un idéal de A contenant ker(f) (ici ker(f)=ker(s)=I)
Ah OK!
J'ai pas la démonstration, elle n'est pas dans le cours !
f(I)B est inclus dans f(I) ?
x dans f(I), x=f(i)
y dans B, comme f surjective, il existe un a dans A tel que f(a)=y
xy,f(i)f(a)=f(ia)
le produi iy est dans I car I est un idéal de A.
Cas général :
un homo. ;
on veut montrer que si f est surjective, pour tout idéal I de A, f(I) est un idéal de B
Soit I un idéal de A.
On sait que f(A) est un sous-anneau de B, mais ici I est inclus dans A, donc ok f(I) est un sous-anneau de B en particulier un sous-groupe de B.
A t on f(I)B inclus dans f(I) ?
soit x dans f(I), il existe i dans I tq x=f(i)
soit y dans B, il existe un a dans A tq f(a)=y car f surj.
alors xy=f(i)f(a)=f(ia)
ia est dans I car I est un idéal de A
donc c'est fini!
dans ton exemple tu remplace
f par s
A/I par B
On sait que f(A) est un sous-anneau de B
>ici,s(A)=A/I=B
Bon j'essaye de refaire parce que pour aprés on va tout mélanger!
On a: J idéal de A,J inclus dans A.
s(J) est un sous-groupe de s(A)=A/I.
on regarde si on a s(J) inclus dans A/I:
x dans s(J),il existe j dans J tel que x=s(j)
y dans A/I,il existe a dans A,i dans I tq: s(a/i)=y
on fait alors
x.y=s(aj/i) et aj/i est dans A/I.
il faut qu'on est x.y dasn S(J) non?
je comprend pas pourquoi!!
de maniere générale:
on a I idéal de A: I est un sous-groupe additif de a et stable par multiplication donc:
x dans I,a dans A alors x.a dans I( inclus dans A)!!
donc là,je prend x dans s(J) et y dans A/I et je montre que x.y est dans s(J) non??
Non!
AI inclus dans I !
c'est exactement ce que tu me dis en plus !
x dans I, a dans A donc la tu considère x.a un élément de AI
alors x.a dans I
donc le produit est dans I cad AI inclus dans I
pour la c) je ne suis pas sur:
Soit A principal.
J un idéal de A,il exsite donc x dans a tel que J=x.A
s(J) est un idéal de A/I or s(J)=s(x.A)=s(x).(A/I) donc s(J) est un idéal principal de A/I.
OK??
Salut robby 
Elle est fausse ta démo!
Pour montrer que A/I est un anneau principal,il faut partir d'un idéal J de A/I et prouver qu'il est proincipal!
Or d'après 2), s-1(J) est un idéal de A contenant I, doncs-1(J) est principal et s'écrit donc aA avec a dans A mais pas dans I.
Alors J=(aA)/I est un idéal principal de A/I, et il est engendré par la classe aI de a.
Tigweg
s est un morphisme d'anneaux, or l'image réciproque d'un idéal par un morphisme d'anneaux est un idéal.
s-1(I) est inclus dans P puisque s(I)=I/I={0} est inclus dans l'idéal P de A/I
Tig:
tu veux dire que I est inclus dans s-1(P) car s(I)=I/I={0} inclus dans P ??
ahh oui d'accord,je viens de saisir!
OK!Parfait!
les idéaux de Z/nZ ce sont les nZ ??
Ah non!D'après a et b, ce sont les quotients J/nZ où J contient nZ!
Cela revient à dire que J=mZ avec m|n .
Mais bien sur!!
Désolé une erreur d'inatention(faut dire que j'ai livre de théorie de l'intégration à coté de moi
)
donc Z/nZ est principal <=>(Z/nZ)/(mZ/nZ)=Z/mZ (du moins j'aimerais bien) est un coprs ssi m est premier.
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