Bonsoir,

ok romu, mais dans ce cas, qu'est ce que Z[ ] ou Z[ ] ?

Bonjour

Z[i] est par définition le plus petit anneau qui contient à la fois Z et i (où i est définie comme d'habitude, comme un truc de carré -1).
Donc en fait, Z[i] n'est rien d'autre que l'ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont des entiers relatifs.

Quand on écrit Z[X], il s'agit du plus petit anneau contenant à la fois Z et X, mais cette fois X est une indéterminée, c'est à dire qu'on ne pourra pas remplacer par exemple X² par -1 comme dans le cas de Z[i], donc là on obtient l'anneau des polynômes à coefficients entiers.

Est-ce plus clair?

Fractal

donc dans la meme veine, c'est ca?

mais je ne vois toujours pas ce que serait

oui, fractal t'as tout dit,

non?

ok donc toujours la meme chose en fait...

merci a vous fractal et romu ^^

mon exo devient tout de suite plus comprehensible ^^

Ben en fait ta première idée est relativement correcte aussi  on remplace  X  par   i ...ce qui donne le plus petit sous anneau .

bonjour mihawk pouvez vous m'aider sur mon topic g enormemment de difficulté a continuer mon exercice

rebonjour,

je reposte ici puisque la question que je vais poser est la suite de mon exercice ^^

je dois montrer que Z[i], l'anneau des entiers de Gauss est euclidien.

Un anneau euclidien est un anneau commutatif integre sur lequel on peut définir une division euclidienne.

c'est a dire : je dois montrer qu'il existe une application v : Z[i]\{0} N (appelée stathme euclidien) telle que si a et b sont dans Z[i]\{0} alors il existe q et r dans Z[i] tels que a = bq + r, avec r = 0 ou v(r) < v(b).

logiquement j'aurai tendance a

arf desole fausse manip j'avais pas fini mon post ^^;

je disais donc :

logiquement j'aurai tendance a prendre le module au carré car cela enverrait mes éléments de Z[i] dans l'ensemble défini un peu plus tot dans l'enonce :

= {n de N | n = a² + b² avec a et b dans N}

J'ai eu confirmation de ca par mon cours qui me dit que v(x) = |x|² est bien un stathme euclidien sur Z[i]

mais je n'arrive pas a ecrire ma division euclidienne... je m'embrouille completement sans vraiment arriver a voir ce que je dois montrer...

si quelqu'un sait comment faire....

merci d'avance

Mihawk

PS : tissame : je vais regarder mais n'intervient pas comme ca dans les topics stp...

ok desolé merci quand meme

a/b  est dans  Q[i] =  les  x  + i y  avec  x  et  y  rationnels...le but du jeu est de monter que ce nombre n'est pas loin d'un éléments de Z[i] ...je te laisses continuer ou tu veux plus d'indications ?

euh...

je vois pas trop le rapport en fait... en quoi le fait que a/b soit proche d'un element de i montre que mon anneau est euclidien?

a/b = x+i y =  u + iv  + z+i t  avec   u  = l'entier le plus proche de  x  et  v  l'entier le plus proche de  y  . Tu utilises le carré du module comme tu l'as deviné et tu montre que  q = u+iv  et r = b(z+it)  conviennent.

on vient de le faire en cours ^^;

j'ai compris comment ca marche ^^

merci bcp a tous ceux qui ont participé a ce topic
Vous m'avez tous bcp aidé!!