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Algebre:corps et irréductibilité de polynome
Bonjour tout le monde, un exercice basique me pose déjà probleme:
Soit ou
est un corps
On suppose
1)Prouver que pour puis
que
est irréductible sur
ssi
n'a pas de racine dans
2)Montrer par un exemple qu'un polynome de degré >3 qui n'a pas de racines dans n'est pas nécessairement irréductible dans
.
je ne parviens pas à commencer!!
:(
Un polynôme réductible de degré 2 ou 3, se décompose en facteurs de degré 1 et 1 ou 1 et 2, donc forcément un de degré 1, qui a une racine.
Pour 2) il y en a d'évidents!
ok donc par contraposé on a 1) c'est bien ça??
pour la 2)
j'en trouve pas des évidents!!
mais attend un peu avant de m'en donner,je cherche
est -ce que (X²+1)² dans R[X] ça marche??
il a pas de racine dans R mais est-il irréductible dans R[X]?
le fait qu'il s'écrive (X²+1)(X²+1) nous garantit-il le résultat??
Absolument! Il est bien réductible puisqu'il s'écrit comme produit de poly de degrés strictement inférieurs.
le 2) n'est pas posé de manière assez précise à mon goût l'auteur aurai du dire : trouvez des corps tels que ...
exemple , sur C les complexes : un polynômes de degré >1 est irréductible si et seulement si il n'a aucune racine est un énoncé vrai !
Salut lolo!
ce résultat que tu énonces sur C est -ce qu'il y a un lien avec le fait que C est algébriquement clos?
Bonsoir
lolo semble parti...
sur C les complexes : un polynômes de degré >1 est irréductible si et seulement si il n'a aucune racine est un énoncé vrai !
Vrai parce que de tels polynômes n'existent pas du fait, effectivement, que C est algébriquement clos.
oui tout à fait (suis revenu) c'est valable sur tout corps algébriquement clos par ce qu'il n'y a aucun polynôme irréductible de degré >1 .
Sur R c'est valable aussi ! PArce que seuls ceux de degré 2 sans racine sont irréductibles.
....robby : tu vas aller jusqu'à la théorie de Galois dans ton cours ?
Re,
sur R ça marche pas bien sûr ... sauf si le degré du polynôme est impair
>euhh qu'est-ce qui marche pas?
Dans R[X] les seuls polynomes irréductibles ce sont ceux de degré 1 et 2 qui n'ont pas de racines non?
....robby : tu vas aller jusqu'à la théorie de Galois dans ton cours ?
>malheuresement pour moi mon cours s'arrete au pied de cette fameuse théorie que je ne verrais donc jamais
du moins dans le cadre scolaire...
Aprés éventuellement vu que j'avoue ça m'interresse un peu, je jetterais un oeil sans doute dans 2/3 ans
Merci à Toi Jeanseb et à toi Lolo!
(question annexe:
est ce que ça un sens ce que je dit:
tout sous corps d'une cloture algébrique d'un corps(K) engendré par les racines du polynome sur K est un corps de décomposition)
Merci d'avance
oui pour le corps de décomposition .
(sur R comme tu as vu (X^2+1)^12 n'a pas de racine et est réductible.
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