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Algèbre : densité de Q

Posté par
fusionfroide 18-10-07 à 18:24

Salut

Le but est de montrer que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}

Définitions :

** \mathbb{R} est archimédien équivaut à \forall x \ge 0, \forall y> 0, \exist n \in \mathbb{N^*} tel que x \le ny

** \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} équivaut à \forall x,y \in \mathbb{R}, x<y, \exist r \in \mathbb{Q} tel que x<r<y

On traite l'exo par disjonction des cas :

Premier cas : si 0 \le x < y

Là aucun problème de compréhension

Deuxième cas : Si x<0\le y
Donc on 0 < -x
Et là on dit qu'il exitse un r \in \mathbb{Q} tel que 0<r<-x

Je ne comprends pas ce passage, n'est-ce pas ce qu'il faut justement montrer ?

Merci beaucoup !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Algèbre : densité de Q 18-10-07 à 18:31

Re!

Non car justement on s'est ramené au premier cas!

Le 0 joue le rôle de l'ancien x, et le -x joue le rôle de l'ancien y!

Donc il y a bien un rationnel r entre 0 et -x, ainsi -r est rationnel et il est entre x et 0, a fortiori entre x et y!


Tigweg

Posté par
fusionfroidere : Algèbre : densité de Q 18-10-07 à 18:33

Alors ça c'est bien vu !!

Cool merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Algèbre : densité de Q 18-10-07 à 18:34

Pas de quoi!

Posté par
1 Schumi 1re : Algèbre : densité de Q 18-10-07 à 19:29

Salut tout le monde,

L'idée c'est d'élargir suffisamment l'intervalle [x,y] en multipliant par un entier "q" suffisamment grand. Tout cela dans le but de trouver un entier en tre qx et qy. On aura alors qx<p<qy et puis on conclut.


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