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Algèbre: dimension, application linéaire nilpotente
Bonjour! j'ai un petit problème sur lequel je travaille depuis ce matin, ca me semble simple mais j'y arrive pas, presque un blocage, je vous soumet mon problème :
Soit un K espace vectoriel de dimension 4, u une application linéaire de E tel que ,
et rang(u)=2.
Je dois déterminer . Voici ce que j'ai fait :
Déja u est de rang 2, on sait que dim(E)=dim(ker u)+dim(Im u), donc de la je sais que dim(ker u)=2. Donc vaut 0, 1 ou 2. Si c'est 2, on en déduit que Im u=ker u, ce qui est impossible parce que ca impliquerait que
, ce qui est en contradiction avec les hypothèses, la réponse est donc soit 0, soit 1, et la je bloque. Je ne vois pas comment avancer, vous pouvez m'aider?
Bonjour,
on sait que u² n'est pas nulle donc il existe x dans E tel que u²(x)
0.
Posons y=u²(x). On a y
Imu et y ker u car u^3=0.
Ainsi ker u 
Im u contient au moins un élément non nul et donc sa dimension ne peut etre nulle.
Dadou
Bonjour.
u² non nulle signifie : il existe a € E tel que u²(a) 0
Or,
1°) u²(a) = u[u(a)] ==> u²(a) € Im(u)
2°) u[u²(a)] = u3(a) = 0 ==> u²(a) € Ker(u).
Donc, Im(u) Ker(u) contient u²(a) : Im(u) Ker(u) est de dimension au moins égale à 1.
A plus RR.
Je suis vraiment un IMBECILE, la démonstration était élémentaire, mais j'étais tellement bloqué sur l'idée de chercher un problème de dimension que j'ai pas pensé 1s à vérifier si il y avait au moins un élément non nul dedans, 3h la dessus pour rien, une excelente lecon au final 
, bon bah merci beaucoup pour l'aide et bonne soirée
Kuarcha
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