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Algebre (espaces vectoriels)
Salut!! j'ai un exercice sur les espaces vectoriels que je ne maitrise pas du tout si vous pouviez m'aider.
Soirt E=[X] l'ensemble des polynomes a coefficients réels, avec sa structure usuelle de R-espace vectoriel. Désignons par U le sous-ensemble:
U={P€E / P divisible par X^3+X^2+X+1} et par V le sous-ensemble des polynomes de degré inférieur ou égal a 2.
1) Montrer que U et V sont des sous-espaces vectoriels de E
Mon cours me dit de vérifier que le vecteur nul appartient au sous espace vectoriel
Il faut aussi vérifier que tour u et v dans U ou V u+v € U ou V
et aussi que pour tous lambda € k et v € a U ou V le produit lambda*u € U ou V
Mais plus concrètement? est-ce que vous pouvez m'expliquer?
2) Calculer l'intersection entre U et V et la somme U+V. La somme U+V est-elle directe.
L'intersection consiste a démontrer que U=V? elle est directe si elle se limite au singleton contenant le vecteur nul ca d'accord. 
3)Décomposer le polynome X^5+1 selon la somme directe U(+)V
La je suis totalement largué.
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour Joelafrite, pour le 1) pour U par exemple faut que tu montre que la somme de deux polynomes divisible par X^3+X^2+X+1 est encore divisible par X^3+X^2+X+1,tu auras alors montrer u+v dans U,de meme avec le lambda...lamba fois un polybome divisible par X^3+X^2+X+1 est encore divisible par X^3+X^2+X+1...tu as compris??
Bonsoir.
1°) Pour montrer que U et V sont deux sous-espaces de E, tu as intérêt à caractériser les éléments de U et V
a) Pour U : P € U <=> P divisible par X3 + X² + X + 1 <=> P multiple de X3 + X² + X + 1
<=> P = (X3 + X² + X + 1).Q où Q est un polynôme quelconque.
Si on appelle S le polynôme X3 + X² + X + 1, tu as donc : U = {S.Q, Q € E}.
¤ Pour Q = 0, 0 € U, U est non vide
¤ Si P et P' sont dans U, P = S.Q et P' = S.Q' => P + P' = S.(Q + Q') = S.R, R € E.
¤ Si a est un réel et P dans U, aP = aS.Q = S.(aQ) = S.R, R € E
b) Pour V : V = {aX² + bX + c, (a,b,c)}
A plus RR.
Merci pour vos réponses.
Maintenant pour la 2 si j'ai bien compris pour déterminer l'intersection entre U et V il faut que je pose l'équation (X^3+X^2+X+1).Q=aX^2+bX+c avec Q polynome quelconque soit Q=X^2+X+1 par exemple? Ainsi il me reste plus qu'a trouver les réels a, b, c??
La somme je remplace le = par un +? c'est ca?
Mais la 3 je ne vois pas du tout...
Bonjour.
Apliquons ce que l'on te demande. J'appelle encore S le polynôme X3 + X² + X + 1.
a) Intersection de U et V
P € U => P = S.Q => P = 0 (si Q = 0) ou deq(P) > 2 (car deq(S) = 3)
Or, les éléments de V sont : 0 ou de degré < 3.
Le seul élément commun à U et V sera donc 0
b) Etude de U + V
Soit P quelconque dans E, on effectue la division euclidienne de P par S : il existe un unique Q et un unique R tels que : P = S.Q + R, avec R = 0 ou deg(R) < 3.
Donc : tout P € E s'écrit d'une manière unique P = P' + P", P' € U et P" € V.
Ceci montre que
c) Etude de X5 + 1.
La division de X5 + 1 par S me donne Q = X² - X et R = X + 1
Donc : X5 + 1 = (X3 + X² + X + 1).(X² - X) + X + 1.
A plus RR.
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