J'ai deja lu un sujet traitant le meme probleme, mais je ne comprend rien au developpement du sujet, alors merci de donner les explications,mon but n'est pas de recopier betement, je prefere ne pas le faire plutot que de rien comprendre en copiant . Je connais a peut pret la demarche mais je suis bloqué car je ne sais pas quoi faire de ce x²+1-1 je pense qu'en sachant ca je serais debloqué

Soit E l'espace vectoriel des polynomes à coefficients réels de degrès inférieur ou égal à 2. On considère l'application phi : E (fleche) E qui associe au polynome P le polynome Q = Phi (P)

Q(x) = { P(x+1) - P(x-1) } / 2

1) Donner l'image du polynome x²+x-1
2) Montrer que f est un endormrphisme de E
3) Donner M, la matrice représentative de phi dans la base B = (1,x,x²)
4) Calculer M² et M^3.donner la fomr générale pour M^n quand n est un entier positif.


Voila ma démarche :

1) je remplace le x par x²+x-1
((x²+x-1)+1)-(x²+x-1)-1)/2
=1

2) pour que ce soit un endo il faut phi (P1+P2) = phi (P1) + phi (P2)  et  phi(alpha P) = alpha phi(P)

phi (P1+P2)=((P1+P2)(x+1) - (P1+P2) (x-1) )/ 2 = [P1(x+1) - P1(x-1)]/2 + [P2(x+1) - P2(x-1)]/2
phi (P1) + phi (P2) = [P1(x+1) - P1(x-1)]/2 + [P2(x+1) - P2(x-1)]/2
donc : phi (P1+P2) = phi (P1) + phi (P2)

phi (alpha P) = [(alpha P)(x+1) + (alpha P) (x-1)] / 2 = alpha [P(x+1)-P(x-1)]/2
alpha phi(P)= alpha [P(x+1)-P(x-1)]/2
donc : phi(alpha P) = alpha phi(P)

Conclusion  f est en endomorphisme de E