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Algèbre et Probabilité
Bonjour voici une partie d'un problème :
Je vous fais un rapide recap:
Partie I : quelques propriétés sur la trace d'une matrice
Partie II : L'étude d'un exemple
Partie III : On démontre que 2 matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si elles ont même trace.
Partie IV: On démontre qu'une matrice est de rang 1 ssi il existe 2 matrices colonnes non nulles U et V telles que
Partie V :
On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé fini.
On suppose : X()=Y(
)=[[1,n]]
On note, pour tout puis
L'objectif est de montrer que M est de rang 1 ssi X et Y sont indépendants.
L'une des implications est claire.
Passons à la 2ème et voici les questions qui nous guident:
On suppose dans cette question que M est de rang 1:
a)Montrer que
b) En déduire que pour tout j
[[1,n]] il existe 
tel que
c) Montrer que 
j[[1,n]]
d)En déduire que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
Voilà! Je bloque dès la question a)! Merci pour votre aide.
Pour insérer un symbole , le code latex est \in
.
Ton énoncé ne précise le pas, qui sont et
?
Pour le sens , il est clair que P(X=i,Y=j) = P(X=i)P(Y=j) implique que
.
Maintenant pour la question a) il suffit de l'écrire : .
Donc
Merci pour l'indication !
Désolé, je n'ai pas fait attention! Ce sont des X et Y à la place..
a) D'après la FPT, on peut conclure, merci beaucoup !
b) j'aimerais simplement utiliser le fait que M soit de rang 1, toutes les colonnes pouvant alors s'exprimer en fonction d'une certaine colonne Cj
C) une indication pour celle ci?
Il faut donc lire et
, avec X et Y en indice, c'est bien ça ?
Oui pour la a), formule des probabilités totales
Oui pour la b) aussi.
Soit . M est de rang 1 donc il existe
des réels tels que pour tout
,
.
Restera alors plus qu'à écrire en fonction du n-uplet
et identifier la valeur de
qui convient.
Pour la c), que vaut la i-ème coordonnée de ? Et celle de
? Rapport avec la question b) ?
C'est ça !
a) b) c'est bon!
Pour la c)
Il y a un truc que je ne vois pas car je comprends comment on peut répondre à la question c) en supposant que X et Y sont indépendants, donc en fait, ceci est la piste à suivre pour la question d) (en reprenant l'équation b) et en remplaçant
Et ben non justement, est égal à
.
Dans le a) on a sommé entre j=1 et j=n pour faire sauter la dépendance en Y dans .
Que se passe-t-il si on somme cette fois entre i=1 et i=n ?
J'ai quelque chose à vous proposer
On a :
Or
En substituant la première équation dans la 2eme
Qu'en pensez vous ?
Pour la d) substituer le beta avec l'équation de la c) dans la 1ere équation de mon précédent message est suffisant pour montrer que c'est indépendant?
Oui, mais il n'y a pas vraiment de subsitution. Il suffit de sommer les deux membres de l'égalité entre i=1 et i=n comme je le disais.
Quand tu as pour tout
, tu as toujours
, du moment que la somme a un sens (c-à-d : converge).
Pour la d), oui, c'est bien ça 
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