Niveau maths spé

algebre générale : somme de minima = maximum ?

Posté par
hun 05-06-11 à 11:35

Bonjour,

je cherche à montrer, pour $x_1,\cdots,x_n$ réels, l'égalité

$\mathrm\sum_{k=1}^n(-1)^k\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}\text{min}(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})=\text{max}(x_1,\cdots,x_n)$

J'ai d'abord dit que par symétrie on pouvait supposer $x_1,\cdots,x_n$ rangés dans l'ordre croissant, on cherche donc à montrer

$\mathrm\sum_{k=1}^n(-1)^k\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}x_{i_1}=x_n$

Ensuite je sais que le nombre de k-uplets vérifiant $1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n$ est $\binom{n}{k}$ , mais je suis bloqué.

Merci.

Posté par re : algebre générale : somme de minima = maximum ? 05-06-11 à 12:00

Bonjour,

La formule que tu essaies de montrer est du type formule du crible (ou principe d'inclusion-exclusion, qu'on a vu dans un autre fil sur un problème de dénombrement.

Une manière d'y arriver est de se fixer un indice $i$ , et de se demander combien de fois $x_i$ figure dans la somme avec le coefficient $-1$ , combien de fois avec le coefficient $+1$ . Il est commode de ranger les $x_i$ dans l'ordre croissant comme tu as fait. On a donc, pour $1\leq k\leq n$ , à se demander combien il y a de $k$ -uplets vérifiant $i=i_1<\ldots<i_k\leq n$ .

Posté par re : algebre générale : somme de minima = maximum ? 05-06-11 à 14:59

Ok merci j'ai trouvé.

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