En fait mon probleme c'est l'expression des groupes quotient en générale,ici pour moi
G/Z(G)={x dans G,axa^-1=x}
parce que par définiton,le groupe quotient c'est l'ensemble des classes d'équivalence...et bref ce que je trouve bizarre c'est que ça ressemble trop mon truc à Z(G) tout seul...

Ben non justemennt le groupe quotient G/Z(G), c'est le groupe où l'on a "tué" les éléments de Z(G), donc G/Z(G) deux éléments sont égaux ssi xy^-1 commutent avec tous les élément de G.
Après je sais pas ce que t'appelle une réalisation pratique de G/Z(G), je pense qu'il veulent que tu voies Z(G), comme le noyau d'un certain morphisme et que tu utilises la prop universelle du quotient...Facile avec 2 et 3 normalement...

bonsoir Rodrigo,

euh excuse moi mais j'ai pas compris le début...2 éléments sotn égaus ssi xy^-1 commutent avec les élés de G...??

Z(G)=Ker(i) ou i est un morphisme de groupe de G,. dans l'esemble des bijections de G...justement je vois pas comment on utilise les propriétés sur le quotient...??

oui deux éléments sont égaux dasn G/Z(G), enfin c'est un abus de langage c'est leur classes modulo Z(G) qui sont égales ssi xy^{-1} commutent avec tous les éléments de G.

Si tu as alors ,essaie d'utiliser ça.

on a donc Im(f) isomorphe à G/Z(G)...avec Im(f)=H...
Mais la H c'est quoi?

(Je reprend tes deux premieres lignes: Cl(x)=Cl(y) dans Z(G) <=>??)
Merci de ta réponse.

Cl(x)=Cl(y), ssi xy^{-1} commute avec tous les éléments de G... Vérifie tu vas voir. (Au fait qu'appelles tu cl exactement la projection cannonique?)

Essaie de rechercher Im(f) en regardant les orbites des éléments de G, normalement c'est le groupe engendré par certains cycles. Je sais pas quelle précision ceux qui t'ont posé l'exo attendent à cette question...

euh pour moi cl=Cl= classe d'équivalence...
Les orbites??!!! seulement fait en DM,pas en cours...en fait le prof m'avait parlé que ce qu'il attendait c'était un truc style Im(f) avec f la fonction issue du théoreme de factorisation...ce dont je n'ai rien compris...en fait ça ressemble un peu à ce que tu m'a dis:
Im(f) iso avec G/Ker(f)...reste à savoir pourquoi c'est isomorphe?!

C'est une propriété générale du quotient, elle est même appelé propriété universelle du quotient (pour les fans de foncteurs!!)

Ca se démontre facilement. Je note p la projection canonique. Tu définis g une application de G/kerf dans H, telle que g(p(x))=g(x) pour un représentant quelconque de x.
Cette application est bien définie puisque si p(x)=p(y) alors f(xy^-1)=1, et donc f(x)=f(y).
C'est un morphisme de Groupe et si g(p(a))=1, alors a est dans le noyau de f, donc p(a)=1, et g est donc injective.
Si tu te restreint à l'arrivée à Im f. alors f est surjective tout comme g...

Attention à ta notation cl. Ici il n'y a pas de rel d'equivalence donnée à priori, on peut en définir une  
telle que les classes modulo Z(G) correspondent aux classes d'equivalences.

Il est plus simple en pratique s'utiliser la projection canonique.
Si tu as des problèmes avec cette notion dis moi et je t'explique.

oui je veux bien une explication lol,parce que je crois j'ai besoin d'explications sur tout.
Je t'écoute sur la projection canonique.

Tu considère G un groupe et H un sous groupe distingué (c'est pas nécéessaire mais on a pas alors une structure de groupe pour G/H).
On a forment une partition de G. En fait ou . On peut alors définir l'ensemble des classes modulo H comme comme on a bien une structure de groupe sur G/H. A tout élément g de G on peut associer gH, on construit un morphisme surjectif de G dans G/H, de noyau H, appelé prohection canonique. Habituellement noté
C'est bon, ca te rappelle des souvenirs?

Là ou ca marche pas bien, il faut lire

lool ça me rapelle aucun souvenir!!
bon je reverrais ça demain parce que c'est pas que je me leve un peu à 6h demain mais bon...lol
meric de ta patience et de tes explications,je reviendrais surement demain soir pour peaufiner tout ça et tenter de comprendre avant samedi(ds).
MERCI et bonne nuit.

Bonne nuit!

Re Rodrigo,merci pour ton explication,je viens de relire plus en détail et c'est effectivement plus clair dans mon esprit(du moins un tout petit peu lol)
je pense que pour la suite de l'exercice je verrais demain en td avec on prof et si j'ai pas compris je repasserais par la.
Encore merci Rodrigo.

Re,juste pour conclure sur le résultat,
On a G/Z(G) est l'ensemble quotient pour g1 R g2 ssi g₁^-1g₂appartient à Z(G):
Cl(g)=g.Z(g)
On définit .: sur (G/Z(G),.)
(g1Z(G)).(g2Z(G))=(g1g2)Z(G).
D'aprés le theoreme de factorisation:
(G/Ker(i),.) iso à Im(i)=Int(i)={i(a),a dans G}.

Voila,je trouve ça pas mal comme résultat,c'est "jolie"

Oui mais on peut accaractérise plus précisément le Im(i), ca doit etre à vu de nez, le sous groupe engendré par les orbites des éléments de G, sous l'action de G par conjugaison...

pour moi Int(i) c'est mieux lol,les orbites je maitrise pas bien...

C'est quoi Int(i)?

c'est les automorphismes interieurs il me semble.

lers automorphismes intérieur de i? i c'est une appication...
Les automorphismes intérieurs c'est vis à vis d'un groupe.

bah Int(i)={i(a),a dans G}
ou i(a)=axa^-1...

Oui ok... Mais on peut donner une descirption plus précise de ce "Int(i)", enfin c'est pas très important, bonne nuit!

ok bonne nuit Rodrigo et à bientot Merci!!
Merfci à Kaiser aussi!!