Pour plus de facilité d'écriture, j'écris la matrice (a b c d ) de type 2x2 (et non 1x4).

Comme a=b et c=d dans les éléments de F, tu as
(a b c d)= (a a c c )= (a a 0 0)+ (0 0 c c) = a(1 1 0 0) + c(0 0 1 1).
Les matrices (1 1 0 0) et (0 0 1 1) sont bien éléments de F et forment bien une famille génératrice de F. De plus cette famille est clairement libre, on a donc une base de F.

Je  te remercie kinounou pour la famille génératrice.

3/Pour prouver que f et g sont des applications linéaires, comment faut-il procéder?

4/Pour Ker f = F , Ker f <=> f(a b c d)=(0 0 0 0) non?

5/ POur le rang, il suffit d'appliquer dimE =dim Ker f + dim Im f (où dim Im= rg f)
Dim E = 4 si je ne me trompe.. quant à Ker f je bloque pour le déterminer...

Bonjour, sjc.

Pour montrer que f est linéaire, tu montres que, pour toutes matrices M et N de M_2(R), pour tout x de R:
f(xM+N)=xf(M)+f(N)

Pour la quatrième question, si , alors

Donc, M est dans le noyau de f si et seulement si f(M)=0 donc si et seulement si a-b=c-d=0 donc si et seulement si M appartient à F.

Pour la 5ème question, le rang de M vaut effectivement 2

Je te remercie.
En effet pour le rang, pas de problème.

Juste une dernière question (valable pour cet excercice et un autre que je dois faire):

Comment montrer que 2 matrices(ou vecteurs) forment une base de Im f?

Dans cet excercice , cela correspond à la question 6.
Je sais que dim Imf=2 d'où Im f= R² et je dois montrer que les matrices A et B forment une base (sous entendu libre et génératrice) de Im f.

Je ne sais pas trop comment procéder...J'ai réuni les 2 matrices et échelonné la matrice.Je ne sais pas si c'est la bonne méthode...

D'abord, on montre que (A,B) est libre (facile à faire).
Ensuite, on montre que A et B sont dans l'image de f.

Notons
L'égalité f(M)= A est équivalente à:
a-b=1   -a+b=-1   c-d=-1   -c+d=1
donc équivalente à
a-b= 1   c-d=-1

L'équation f(M)=A admet donc au moins une solution (par exemple
avec a=1 et d =1

Même idée pour B.

(A,B) est donc une famille libre de deux éléments de Im(f), qui est de dimension 2. C'est donc une base de E.

Je te remercie beaucoup

Une dernière question d'ordre générale:

Lorsque l'on a par exemple f(x,y,z) (x+y,2x+y+z,x+z)

et que l'on doit écrire f dans la base (u,v,w)  u=(1,-1,-1) v=(1,0,-1) w=(0,1,1).

Comment doit-on procéder?

Merci.

La méthode générale est d'utiliser le cours:

Si f est de matrice M dans B
si la matrice de passage de B à B' est égale à P
alors, la matrice de f dans la base B' vaut  P^(-1)MP

Maintenant, le calcul de P^(-1) peut être pénible à faire, et il est souvent conseillé d'essayer d'exprimer directement f(E_i) en fonction des E_j. Par exemple, ici:
f(u)= (0,0,0)=0.u + 0.v + 0.w
Donc la première colonne de la matrice de f dans la base (u,v,w) est une colonne de 0.
f(v)= (1,1,0) = v+w
La deuxième colonne sera la transposée de (0,1,1)