Bonjour

Que sais-tu sur dim(Ker f)+dim(Im f)? C'est déjà une condition nécessaire...

Je sais que :
Si E est un IK-ev, E étant de dimension finie et f appartenant à L(E) alors:
dim(E)=dim(Ker f)+dim(Im f) (Corollaire du théorème du rang)

Je propose:
Il faut que dim(Ker f)+dim(Im f)=dim(E).
Autrement dit, Ker fIm f=E, c'est à dire FG=E.
Est ce cela?

Non, ce n'est pas celà! On sait seulement que dim(Im f)+dim(Ker f)=dim(E), mais si leur intersection n'est pas réduite à {0}, ils ne sont pas en somme directe.

Pour ton exo: c'est déjà nécessaire que dim F+dim G=dim E. Soit n=dim E.

Supposons que dim F + dim G=n. Construis une base qui te permette la définition d'une f de noyau F et d'image G.

Bonjour,
Voilà ce que j'ai compris:

On sait que nécessairement dim F+dim G=dim(E).
Soit dim E=n
Supposons dim F + dim G=n.
Construisons une base de E à l'aide de F et G en posant F=Ker f et G=Im f.
On veut que E=Vect(F,G):pour tout x de E, il existe a1, a2 app IR et x1 app F et x2 app G tel que x=a1x1+a2x2.
Soit x1 app Ker f<=> f(x1)=0 et x2 app Im f<=> il existe z2 app E tel que x2=f(z2).

Ensuite je ne vois pas comment construire la base.
Merci de m'aider

Personne pour une aide. Ai-je bon?