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algebre linéaire
Bonsoir à tous
Soit 
l'e.V. des polynômes à coéfficients réels de degré inférieur ou égal à 3 et f la fonction définie par:
f(P(x)))=Q(x)=3xp(x)+(1-x2)P'(x)
1 - Déterminer A la matrice représentative de f dans la base canonique B=(1,x,x2,x3)
je trouve
f(1)=3x
f(x)=2x²+1
f(x2)=2x2+3x3-2x4
f(x3)=3x4+3x3-3x5
J'aimerai savoir si j'ai bon pour le moment
merci de me répondre
merci franz,
je viens de corriger mon erreur et je trouve la meme chose que toi.
je dois determiner la matrice représentative de f dans la
base B
et je trouve
0 1 0 0
3 0 2 0
0 2 1 3
0 0 0 0
est-ce que c'est bon?
la deuxième question etait de vérifier que les valeurs -3,-1,1 et 3 sont les valeurs propres de la matrice A.
J'ai calculer le det(A-
I).
Mais je me demande si c'est la bonne méthode pour bien répondre à cette question
la question 3, on me demande de trouver une base qui diagonalise f. mais ca c'est simple, il faut trouver un s.e.p pour chaque valeur propre de A
ce qui donnera la matrice de passage P.
Ensuite il faut calculer la P-1AP=D
ou D est la matrice diagonale.
en revanche les deux dernieres questions4 et 5, je ne les comprends pas.
4-Pourquoi peut-on toujours résoudre f(p(x))= Q(x) avec Q(x).
Le polynome donné et P(x) un polynome à determiner.
5-Pourquoi y a til des conditions sur les réels s pour pouvoir résoudre f(p(x))=sP(x), ou s est un reel et P(x) un polynome non nul.Quels sont les conditions?
Je suis d'accord avec l'expression de A
pour le 2°, il faut calculer A.u et vérifier que ce vecteur est proportionnel à u (avec u = (-1,-1,1,3) )
je reviens pour t'aider + tard
Bonsoir:
La 4:
Pourquoi peut-on toujours résoudre f(p(x))= Q(x) avec Q(x).
Sans doute parce que l'application f est bijective. Calcule le déterminant de la matrice (à vue de nez il vaut 9), il doit être non nul. f étant un automorphisme, tout polynôme Q(x) a un antécédent (unique) par f, qui est f-1 (Q(x)). Tu détermines f-1 en inversant la matrice.
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