Bonjour,
soit Soit f l'application linéaire définie par :
R4 --> R3
( x1 , x2 , x3 , x4 ) --> f() = ( x1 - x2 , x3 - x4 , 0 )
Soit B1 , B2 les bases canoniques respectives de R4 et R3
On note B3 = { U1 , U2 , U3 } une nouvelle base de R3 , avec :
U1 = ( 1 , 1 , 0 ) U2 = ( 1 , 0 , 1 ) et U3 = ( 0 , 1 , 1 )
Question : Calculer les matrices suivantes :
Tout élément de R4 s'écrit de façon unique comme:
x1c1+x2c2+x3c3+x4c4
f(x1c1+x2c2+x3c3+x4c4)=x1f(c1)+x2f(c2)+x3f(c3)+x4f(c4)=c1(x1-x2)+c2(x3-x4)
=x1(c1)+x2(-c1)+x3(c2)+x4(-c2)
f(c1)=x1
f(c2)=x2
f(c3)=x3
f(c4)=x4
matrice ->
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
je comprend pas trop, quelqu'un peut m'expliquer, merci d'avance.
Bonjour
déjà, il y a un échange entre les deux bases dans ta première matrice : B1 devrait être en bas.
ensuite, ton application va de R4 dans R3 donc ta matrice doit avoir 4 colonnes mais seulement 3 lignes
Bonjour
Une fonction linéaire de R4 dans R3 a une matrice rectangulaire à 4 colonnes et 3 lignes.
Pour les bases canoniques f(1,0,0,0)=(1,0,0)
f(0,1,0,0)=(-1,0,0) f(0,0,1,0)=(0,1,0) f(0,0,0,1)=(0,-1,0). Donc
ensuite, tu fais une salade entre les éléments de R4 et les réels ...
f(c1) n'a aucun sens ! f(quadruplet) en a un....
Le soucis c'est que mes profs veulent avoir une réponse de mon type, clairement détailler, je fonctionnai de la même méthode que Camélia mais sa pour mon prof c'est 0 car aucune explication :/
Pourtant ce qu'a fait Camélia est bien plus explicite que ce que tu as fait : la matrice de f dans les bases B1 et B2 est bien constituée des colonnes des coordonnées dans la base B2 des images des vecteurs de B1, non ?
Si je comprends bien, tu appelles c1, c2 etc les vecteurs de la base B1 ?
ceci :
Tout élément de R4 s'écrit de façon unique comme:
x1c1+x2c2+x3c3+x4c4
f(x1c1+x2c2+x3c3+x4c4)=c1f(x1)+c2f(x2)+c3f(x3)+c4f(x4)=c1(x1-x2)+c2(x3-x4)+c3(0)
=x1(c1)+x2(-c1)+x3(c2)+x4(-c2)
Oui, mais ce n'est pas ce que tu écris
Tout élément de R4 s'écrit de façon unique comme:
c1x1+c2x2+c3x3+c4x4
f(c1x1+c2x2+c3x3+c4x4)=x1f(c1)+x2f(c2)+x3f(c3)+x4f(c4)
c'est ce que j'avais écrit au début, donc ce que j'ai écrit au début est juste (hormis la matrice)?
En faite je suit le développements de mon professeur pour un exercice du même type hors que l'espace d'arrivé est égale à l'espace d'arrivé. J'ai fait point par point le même développement et j'avoue ne pas savoir comment il passe de f(c1) à (x1-x2) qui est égale à f(x1) et non f(c1) !
c1 = (1;0;0;0), donc pour c1, on a x1 = 1, x2 = x3 = x4 = 0 .
on regarde la définition de f : f((x1,x2,x3,x4)) = ( x1 - x2 , x3 - x4 , 0 ), et on remplace là-dedans x1 par 1 et les autres par 0.
on obtient f(c1) = (1 - 0 ; 0 -0 ; 0) = (1 ;0 ;0) = premier vecteur de la base B2
voilà l'exercice de mon prof:
Soit Beta=(e1,e2,e3) base canonique de R3. on considéreras l'application linéaire
f: R3 -> R3
(x1,x2,x3) -> (x1+x2+x3,x1+2x2+3x3,x1+4x2+9x3)
1) calculer M Beta,Beta(f) que l'on notera M
x1
x2 = x1e1+x2e2+x3e3
x3
f(x1e1+x2e2+x3e3)=x1f(e1)+x2(fe2)+x3f(e3)=(x1+x2+x3)e1+(x1+2x2+3x3)e2+(x1+4x2+9x3)e3
x1(e1+e2+e3)+x2(e1+2e2+4e3)+x3(e1+3e2+9e3)
par identification des coefficients:
f(e1)=e1+e2+e3
f(e2)=e1+2e2+4e3
f(e3)=e1+3e2+9e3
je comprend pas le développement x1f(e1)+x2(fe2)+x3f(e3)
au faite je me suis mal exprimer je parler du développement (x1+x2+x3)e1+(x1+2x2+3x3)e2+(x1+4x2+9x3)e3
merci pour votre aide.
Alors là, ça vient de (x1+x2+x3,x1+2x2+3x3,x1+4x2+9x3) = (x1+x2+x3)(1;0;0)+(x1+2x2+3x3)(0;1;0)+(x1+4x2+9x3)(0;0;1)
j'essaye de faire comme mon professeur pour l'exercice donner au début:
Soit e1,e2,e3,e4 4 vecteurs de B1
tel que: e1=(1,0,0,0) e2=(0,1,0,0) e3=(0,0,1,0) e4=(0,0,0,1)
x1
x2 =>x1e1+x2e2+x3e3+x4e4
x3
x4
f(x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)=x1f(e1)+x2f(e2)+x3f(e3)+x4f(e4)(car f est linéaire)
(x1 - x2 , x3 - x4 , 0) = (x1-x2)(1;0;0)+(x3-x4)(0;1;0)+(0)(0;0;1)
donc x1f(e1)+x2f(e2)+x3f(e3)+x4f(e4)=(x1-x2)e1+(x3-x4)e2+(0)e3
=x1(e1)+x2(-e1)+x3(e2)+x4(-e2)
par identification des coefficients:
f(e1)=e1
f(e2)=-e1
f(e3)=e2
f(e4)=-e2
1 -1 0 0
0 0 1 -1
0 0 0 0
voilà merci beaucoup pour votre aide j'ai enfin comprit
juste un truc : appelle plutôt f1,f2 et f3 les triplets de la base B2 : dans ton calcul e1 désigne tantôt (1;0;0;0), tantôt (1;0;0)
soit a,b,c appartenant à R tel que:
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(1,0,0)
a+b=1
a+c=0
b+c=0
a=-c et b=-c
a+a=1 =>2a=1 a=1/2
->b=1/2 et c=-1/2
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(-1,0,0)
a+b=-1
a+c=0
b+c=0
b=-c et a=-c
=>a=-1/2, b=-1/2 et c=1/2
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,1,0)
a+b=0
a+c=1
b+c=0
b=-c et a=-b
=>a=1/2, b=-1/2 et c=1/2
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,1,0)
=>a=-1/2, b=1/2 c=-1/2
M_{B1}^{B3}=1/2 -1/2 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -1/2 1/2
-1/2 1/2 1/2 -1/2
c'est sa mais les colonnes, lignes correspondent à quoi?
et peu tu m'expliquer pourquoi je doit exprimer f(e1), f(e2) etc en fonction de U1, U2 et U3?
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :