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Algèbre linéaire!
bonjour à tous!
voila, je refais mon partiel de math, et je me rends compte que j'ai pas mal de lacunes! si quelqu'un pouvait m'aider pour répondre à quelques questions, ce serait vraiment sympa!
On étudie l'application linéaire suivante:
f(x,y,z) = (2x-2y-2z , x-y-2z , 3/2x - 3/2y -2z )
b) tout d'abord je n'arrive pas à calculer l'image de f... j'ai trouvé une méthode pour trouver une base de l'image de f mais pas l'image...
e) déterminer les valeurs propres. vérifier vos résultats avec les méthodes usuelles. ( Triez les valeurs propres par ordre croissant).
f) La matrice est elle diagonalisable? ( justifiez on prendra des vecteurs propres dont la 1ère composantes non nulle vaut 1).
G) déterminer une base de vecteurs propres ( on prendra des vecteurs propres dont la 1ere composante non nulle vaut 1).
Donnez la matrice de passage associée.
h) Déterminer le décomposition diagonales de A ( qui est la matrice représentative de f) ( on calculera toutes les matrices).
Merci d'avance!
Bonjour
Première remarque: fais attention aux parenthèses. Tu écris 3/2x-3/2y-2z. Comme il s'agit d'applications linéaires je me doute bien que c'est (3/2)x-(3/2)y-2z mais toi tu as écrit
b) Je ne comprends pas... Si tu as une base de l'image, l'image est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de la base!
e) Tu as calculé le determinant de f-XI? Tu n'arrives pas à trouver les racines?
oups désolé pour les parenthèses!
b)pour être plus clair, connais-tu une méthode simple pour calculer l'image?
e)oui je l'ai calculé mais je trouve quelque chose de bizarre...
b) Oui, bien sur, c'est le sous-espace engendré par les vecteurs colonne de la matrice!
e)
D'abord ajouter toutes les lignes à la première; puis après la mise en facteurs retrancher la première colonne de chacune des deux autres. Maintenant tu peux finir!
b) je sais qu'il faut que j'utilise les bases canoniques mais je ne sais pas comment l'appliquer...
e) Il y a toujours un x² qui me gène quand je calcule le det...
Tu plaisantes? Le déterminant vaut (-2-X)(1-X)(-X)
A priori l'image est l'ensemble des vecteurs de la forme
Ensuite tu peux remarquer qu'il y a une relation entre les trois colonnes. (Par exemple avec la méthode du pivot de Gauss). Il sufit de prendre seulement les deux premiers vecteurs qui sont bien linéairement indépendants.
ah oui en effet donc les valeurs propres sont dans lordre croissant -2 , 0 et 1.
pour l'image j'ai vraiment du mal!
il suffit juste de faire cela?
Si ça ne t'inspire pas, rappelle toi comment est définie l'image.
Ce sont les Y pour lesquels il existe X vérifiant f(X)=Y. Si on pose Y=(u,\ v,\ w) on veut pouvoir résoudre le système
Si je ne me trompe pas, on trouve u+v-2w=0
Comme elle a trois valeurs propres distinctes, on sait (enfin, moi je sais) qu'elle est diagonalisable. Il te reste à trouver une base formée de vecteurs propres.
si je pars comme ça c'est bon?
Soit E1 le sev propre associé a la vp simple lambda 1 = -2
Donc U= (x,y) appartient à E1 
A.U = -2.U
2x-2y-2z= -2x
x-y-2z = -2y
3/2 x - 3/2 y -2 z = -2z
et c'est la que j'ai du mal à trouver x, y et Z...
Oui, c'est bien l'idée...
La dernière équation te donne x=y, et la première devient alors z=x. Donc le vecteur (1,1,1) en est une base!
C'est la matrice dont les colonnes sont formées des nouveaux vecteurs de base (ou son inverse selon les auteurs) Tu n'as pas un cours?
Alors à quoi rime tout cet exo?
On peut diagonaliser f en mettant les valeurs propres sur la diagonale. Comme on peut les placer n'importe comment, il y a 6 possibilités.
en relisant j'ai pas très bien compris au poste de 15h08 pourquoi on a -2-X sur la premiere ligne au lieu de 2-x... c'est le - qui me gene! merci!
salut moi aussi jai des problemes avec l'image de f
pour une fonction comme (x+y;x+y) quelle pourrait etre une base de imf svp?
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