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Algèbre linéaire

Posté par
Surb 26-08-11 à 15:20

Bonjour,
Voici mon problème:
On donne deux bases v_1,v_2,\ldots,v_n et w_1,w_2,\ldots,w_n de \bb{R}^n tels que
\langle v_i,v_j \rangle = \langle w_i,w_j \rangle, \forall 1 \leq i,j\leq n
et on voudrait montrer qu'il existe une isométrie g qui envoie la première base sur la deuxième. MA première intuition était de poser
g(v_i)=w_i, i=1,2,\ldots,n
Ainsi comme \|v_i\|^2=\langle v_i,v_i \rangle = \langle w_i,w_i \rangle = \|w_i\|^2 pour tout i, on a
\left\|g\left( \frac{v_1}{\|v_1\|}\right) \right\|= \frac{\|g(v_1)\|}{\|v_1\|}= \frac{\|w_1\|}{\|v_1\|}=1
et donc \|g\| \geq 1. Par contre je n'arrive malheureusement pas à montrer que \|g\|\leq 1 pour conclure que g est effectivement une isométrie.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
COTLODre : Algèbre linéaire 26-08-11 à 15:47

Bonjour,
je pense que tu peux directement démontrer que le produit scalaire est conservé. Pose x=\Sigma a_i v_i et y=\Sigma b_i v_i et développe <g(x),g(y)>.

Posté par
yoyodadare : Algèbre linéaire 26-08-11 à 15:54

Bonjour,

Une application linéaire f est une isométrie si pour tous x,y de l'espace de départ, on a <x,y>=<f(x),f(y)>.

Ici, en posant g: x=\sum_i x_i.v_i \mapsto g(x)=\sum_i x_i.w_i,
on vérifie sans problème que <x,y>=<g(x),g(y)> pour tous x,y\in\mathbb{R}^n.

Posté par
Surbre : Algèbre linéaire 26-08-11 à 16:03

Bonjour,
Merci effectivement je viens de trouver comment et j'ai fais comme vous (en utilisant <x,y> =<f(x),f(y)>) merci beaucoup à tous .


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