Bonjour,

Je vais essayer de répondre à quelques unes de tes questions, mais d'abord, pour la dimension finie, il faut que tu comprennes bien ce que c'est qu'une dimension (tu vois bien la différence entre dim2 et dim3, donc pour la dimension 4 il te suffit d'imaginer qu'il y a une autre direction que tu ne peux pas atteindre à l'aide des trois autres... En deux dimensions, sur ta feuille de papier, tu vois bien que tu ne peux pas monter ou descendre, t'éloigner de la feuille de papier. Si il y a d'autres dimensions, dans la réalité, tu ne peux pas les voir, parce que tu ne peux pas les atteindre avec les seules trois dimensions que tu vois. Alors vois un espace vectoriel comme un espace dans lequel il y aurait d'autres directions, que tu ne peux pas voir... Mais il ne faut pas essayer de le visualiser dans sa tête, sous peine de se faire une hernie au cerveau...

Effectivement un espace vectoriel n'est pas un anneau, puisque c'est un espace vectoriel. "Espace vectoriel" n'est qu'une structure comme un autre, au même titre que les groupes, les anneaux, les corps, etc. L'espace vectoriel se rapproche donc de la structure d'espace vectoriel...

A est effectivement INCLUS dans Vect(A), puisque les éléments de A sont évidemment des combinaisons linéaires d'élements de A : x = 1.x A.
D'ailleurs, une autre définition de Vect(A) est : le plus petit espace vectoriel qui contient A, et on montre alors qu'il est l'ensemble des combinaisons linéaires.

Pour les projecteurs, il faut s'imaginer en dimension 3, c'est plus simple. Prends un plan et une droite qui le traverse perpendiculairement. Il s'agit bien de deux SEV supplémentaires dans l'espace de trois dimensions. Prenons F le plan et G la droite par exemple.
Maintenant, si tu prends un vecteur n'importe où dans l'espace, tu vois bien que tu peux l'écrire comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G (avec Chasles). On n'a qu'à dire x = u + v par exemple. Alors p(x)= u par définition (on a de la chance, cette écriture u+v est unique puisque F et G sont supplémentaires. Sinon on serait bien embêtés).
Il est facile de montrer par double inclusion que F=Im(p)
Soit x Ker(p-id). Alors p(x) = x donc x Im(p)
Soit x Im(p). y E tel que x = p(y). Alors p(x) = p(p(y)) = p(y) car pop=p (formule essentielle des projecteurs), donc p(x) = x donc x Ker(p-id)

G = Ker(p) puisque si tu prends x G, x s'écrit 0 + x et par définition p(x) = 0

Je t'envoie déjà ça et je réponds à la suite...

Attention, quand on parle de F génératrice ou libre, il s'agit d'une famille et non d'un espace. Une famille, c'est un ensemble de vecteurs.
Je ne vais pas noter F, je vais noter plutôt .

Pour simplifier les choses, on va encore une fois se placer dans l'espace à trois dimensions (O,,,)

La famille (2, 5, 3, ) est par exemple génératrice, puisque si tu prends n'importe quel vecteur, tu vois bien que tu pourras l'écrire comme combinaison linéaire des quatre vecteurs de la famille. Par exemple le vecteur de coordonnées (x, y, z), il s'écrit : x/2 .2 + y/5 .5 + 0.3 + z..
Par contre si on n'avais pris que (2, 5, 3), ça ne marchait pas puisqu'on ne pouvait construire que des vecteurs qui restent dans le plan (O,,)...

Maintenant, la liberté, c'est un peu comme le contraire de ça (j'ai bien dit "un peu", parce qu'il est possible d'être à la fois libre et génératrice)
En fait, il faut se dire que deux vecteurs sont libres ssi avec des combinaisons linéaires de l'un tu ne pourras jamais construire l'autre. Par exemple et sont libres. Mais et 2. ne le sont pas...
Du coup, soit une combinaison linéaire de et , par exemple a. + b.. Si on la suppose nulle, c'est forcément que a et b sont tous les deux nuls, tu comprends ? Sinon ça voudrait dire que a. = -b., tu vois bien que ce n'est pas possible.

Ensuite, pour une famille, il faut regarder pour chaque vecteur de la famille si tu peux l'écrire comme une combinaison linéaire des autres. Si tu ne peux pour aucun, la famille est libre. Par exemple (O,,,) est libre, mais (0,,,+) ne l'est pas.

Du coup tu as un exemple de famille à la fois libre et génératrice : (O,,,). C'est donc une base de ^3...
Attention, la liberté est un caractère que conserve une famille dans tous les espaces vectoriels, alors que le caractère générateur n'existe que par rapport à un espace vectoriel précis. (O,,,) est libre, et génératrice de ^3. Elle n'est pas génératrice de ^4

Du coup, la dimension est le nombre de vecteurs qu'il y a dans une base. Je te laisse maintenant voir les autres théorèmes si tu as compris ça.

Au fait, L(E,F) est bien ce que tu dis, mais je ne vois pas ce qu'est F(E,X)...

J'espère que j'ai été assez clair...
Léo

Merci à toi Leoz d'avoir pris le temps de répondre (à toutes mes questions finalement ).

Cependant je ne comprend pas bien ton exemple de monter ou descendre en 2D, je ne vois comment je le fais en 3D en dessinant par exemple un cube sur ma feuille...
Le reste de ton premier message est compris à part ton explication sur Ker(p-id), la démonstration à l'air trivial mais en fait ce que j'ai du mal à comprendre c'est l'application p'=p-id, l'identité c'est l'application qui à tout vecteur associe le même vecteur donc p-id c'est l'application p dont chaque vecteur a un vecteur associé strictement différent ?
Sinon ton deuxième message est assez clair et m'a fait mieux comprendre la notion de famille libre, liée et de base et je t'en remercie.

Bonjour,

Pas certaine que ça aide... :

La projection sur la droite F=D1, parallèlement à G=D2, en image :



On y voit bien que
- si on prend au départ un vecteur dans D2, il se projette sur le vecteur nul (et réciproquement, si un vecteur a un projeté nul, forcément le vecteur était selon D2) : Ker(f)=D2=G
- si on projette un vecteur qui est selon D1, il reste le même (f(u)=u si u est dans D1)
etc ...

Bonne soirée .

Bonsoir,

Ce que je veux dire avec l'exemple de la feuille, c'est que si tu poses une feuille sur une table, tu peux dessiner dans deux dimensions sur la feuille, mais tu ne peux pas dessiner des choses qui partent vers le haut ou vers le bas, puisque tu ne serais plus sur la feuille. C'est comme sur un tableau, tu ne peux pas dessiner des choses qui sortent du tableau.
Bien sûr tu peux faire de la perspective, pour représenter de la 3D en 2D, mais ce n'est pas en relief, ça ne ressort pas réellement, et si tu regardes bien, le cube que tu dessines, on dirait un cube parce que notre cerveau fait comme si c'était en 3D mais, ce ne sont que des traits à plat. La feuille est en deux dimensions, comme le tableau, comme l'écran de ton ordi, alors que le monde réel est en trois dimensions. Plan = 2 dimensions. Ligne = 1 dimension

Effectivement id : x x
Donc p' = p-id : x p(x)-x
x Ker(p-id) p(x)-x = 0 p(x) = x

Merci pour le schéma critouu.

Sinon Léo, je voulais juste savoir pourquoi dans ton premier post un plan et une droite perpendiculaire à ce dernier sont deux sevs supplémentaires.
Ensuite la dimension d'un ev est le nombre de vecteurs qu'il a dans sa base, je vois bien dans ton exemple de repère dans l'espace mais autrement quand il est question d'images d'une fonction f qui peuvent répondre à des conditions précises comme les polynômes.
Sinon dans ta famille ,,+), elle peut-être considérée comme génératrice à défaut d'être libre ?

Bonjour

des familles de vecteurs qui commencent par un point ? bizarre autant qu'étrange ...