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algèbre linéaire
bonjour, j'ai du mal en algèbre car je crois ne pas avoir compris les bases, je voudrai faire ce petit exo mais je bloque dès la première question et pourtant j'ai appris mon cours pouvez vous m'aider?
On rappelle que M2(R) est un espace vectoriel de dimension 4 dont une base est donnée par les matrices I=(1 0,0 0) J=(0 1, 0 0) , K=(0 0,1 0) L=(0 0,0 1) . on appelle B cette base
Soit A la matrice carrée d'ordre 2: A=(1 -1,-1 1)
A toute matrice X de M2(R), on associe la matrice Y=f(X)=AX+XA
1) Montrer que f est un endomorphisme de M2(R)
2) Déterminer sa matrice dans la base B.
3) Déterminer le noyau de f.
4) Déterminer l'image de f.
a) En particulier, soit M=(a b,c d) donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a,b,c,d pour que M appartienne à Im(f)
b) Déterminer les antécédents par f de la matrice M=(1 -1, 0 0)
Merci par avance
Bonsoir moustik
1)M2(
) est une algèbre, donc cet ensemble est stable par produit matriciel et par somme.
Ainsi, f est valeur dans M2().
Il suffit de montrer que f est une application linéaire, ce qui n'est pas très difficile (il suffit d'appliquer la définition à la lettre).
2) Calcule f(I), f(J), f(K) et f(L) en fonction de I, J, K et L.
La matrice que tu obtiendras sera de format 4
4.
3) Il suffit de résoudre l'équation f(X)=0 avec X=(a b,c d)
4) L'image de f est engendré par les vecteurs f(I), f(J), f(K) et f(L).
kaiser
pour la question 2 j'obtiens 4 matrice comment n'en trouver qu'une?
quand je détermine le noyau je trouve a=b=c=d=0 est ce bon?
après pour 4) et a) et b) je bloque
quelqu'un pourrait il m'aider
Pour le 4) :
Quand tu obtient tes 4 matrices avec f(I), f(J), f(K) et f(L)
il suffit de créer une nouvelle matrice de quatre ligne avec ligne 1 = f(I),
ligne 2=f(J)...
Aprés ca tu échelonne ta matrice et il devrait rester n lignes avec n<=4 (je
n'ai pas calculé), chaque ligne sera alors un vecteur de la base de
l'image U de f.
Par contre je crois que (0,0,0,0) ne peux PAS être une base du noyau de f, par
contre je pense que ca marche avec le vecteur A.
Oulah je suis fatigué, je voulais dire avec le vecteur (1,1,1,1).
En fait je me suis encore trompé, quand tu fais f(X)=0 tu as 3 variables
libres donc il doit y avoir 3 vecteurs pour définir la base du noyau de f.
Bon, je retourne dormir... :p
ok mais je comprends pas cette partie :Aprés ca tu échelonne ta matrice et il devrait rester n lignes avec n<=4 (je
n'ai pas calculé), chaque ligne sera alors un vecteur de la base de
l'image U de f.
et pour le noyau et les questions 4) j'ai toujours pas compris
merci
Je te conseil de jetter un oeil à ce bouquin :
http://daxclubparis.free.fr/maths/schaum.pdf
L'exercice corrigé 6.18 p144-145 du pdf devrait t'éclairer 
Bon mais pour le noyau tu es quand même d'accord que le vecteur nul
de 4 ne peux pas être une base?
j'y arrive toujours pas je suis toujours bloquée pour la meme chose, pour la 2) je comprends pas échelonne la matrice , ensuite 3+ 4 + a +b je suis bloqué
au secours j'ai vraiment besoin d'une aide
L'échelonnage de matrice c'est expliqué en détail dans le bouquin, utilise
la fonction recherche de acrobate avec le mot "échelonnée".
Grosso modo l'échelonnage de matrice utilise une méthode similaire à la
méthode de Gauss pour les systèmes d'équations, c'est donc assez "intuitif".
Et sinon quand tu calcules AX+XA=0 tu trouve quoi?
Bon alors à partir de là tu fais un système d'équation, tu essaye de l'arranger
avec la méthode de Gauss puis tu compte tes variables libres et tu calcule
autant de vecteur pour la base qu'il y a de variables libres.
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