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Algèbre linéaire : Centrale

Posté par
Fractal 27-05-07 à 14:41

Bonjour

Comme prévu, les sujets d'algèbre de CCP étant triviaux () je me suis mis à un sujet de Centrale () (sujet complet ici -> ).
Le sujet consiste en l'étude d'une application linéaire p de 3$\mathbb{R}^3 dans 3$\mathbb{R}^2 qui se trouve être la perspective cavalière :
et sont deux réels strictement positifs et on définit 3$\{p\quad:\quad\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2\\\quad\quad\quad\(x\\y\\z\)\rightarrow\(x-\alpha z\\y-\beta z\)

-------

La première question est de montrer que p est linéaire.
Est-ce que cela suffit de montrer que pour tous X et Y dans 3$\mathbb{R}^3 et pour tout t dans 3$\mathbb{R}, on a 3$p(X+tY)=p(X)+tp(Y) ?

-------

Ensuite, je ne suis pas certain de ce que j'ai fait à la question I.C.4)
Il s'agissait de discuter de la nature de 3$p(\Pi), où est un plan affine de 3$\mathbb{R}^3, en fonction de et du vecteur 3$\vec{\nu}=\(\alpha\\\beta\\1\) qui est une base du noyau de p.
Soit \vec{n} un vecteur normal à .
* Si 3$\vec{\nu}.\vec{n}=0, alors 3$\vec{\nu} est coplanaire à , donc on peut trouver 3$\vec{u'} également coplanaire à mais non colinéaire à 3$\vec{\nu} tel que 3$\Pi=\{M_0+\lambda\vec{\nu}+\lambda'\vec{u'}\,|\,\lambda,\lambda'\in\mathbb{R}\}.
Par un raisonnement analogue à celui de la question I.C.1), on a alors 3$p(\Pi)=\{M_0+\lambda p(\vec{\nu})+\lambda' p(\vec{u'})\,|\,\lambda,\lambda'\in\mathbb{R}\}=\{M_0+\lambda p(\vec{u'})\,|\,\lambda\in\mathbb{R}\} car 3$\vec{\nu} appartient au noyau de p. 3$\vec{u'} n'est pas colinéaire à 3$\vec{\nu}, donc n'appartient pas au noyau de p, par conséquent 3$\fbox{p(\Pi)\rm~~est une droite}.

* Si 3$\vec{\nu}.\vec{n}\not=0, alors pour tout couple de vecteurs 3$(\vec{u},\vec{u'}) coplanaires à et non colinéaires, aucun des deux ne peut être colinéaire à 3$\vec{\nu} car si par exemple 3$\vec{u} lui était colinéaire, il ne serait pas orthogonal à 3$\vec{n}, ce qui est absurde.
Ainsi, 3$p(\Pi)=\{M_0+\lambda p(\vec{u})+\lambda' p(\vec{u'})\,|\,\lambda,\lambda'\in\mathbb{R}\} et puisque 3$p(\vec{u}) et 3$p(\vec{u'}) ne sont pas colinéaires (s'ils l'étaient, 3$\vec{u}-\vec{u'} serait colinéaire à 3$\vec{\nu}, donc 3$\vec{\nu} serait coplanaire à et on aurait 3$\vec{\nu}.\vec{n}=0), on a clairement 3$\fbox{p(\Pi)=\mathbb{R}^2}

Est-ce correct?
J'ai l'impression de m'être un peu compliqué la vie quand même...

Merci

Fractal

Posté par
Camélia Correcteurre : Algèbre linéaire : Centrale 27-05-07 à 14:53

Bonjour Fractal

Pour montrer qu'une fonction est linéaire, il suffit de montrer que p(X+tY)=p(X)+tp(Y), mais j'ai toujours pensé que c'est moche! Vérifier que p(tX+uY)=tp(X)+up(Y) ne coute rien de plus si c'est purement formel, et s'il y a une vraie difficulté, de toute façon on est amené à faire séparèment p(X+Y)=p(X)+p(Y) et p(tX)=tp(X).

Pour p() : Si le vecteur normal était introduit dans le texte, ta solution est bonne.

Sinon, le plus simple est de chercher la dimension de p(). Comme le noyau est de dim 1, ou il est contenu dans et alors dim(p())=1 ou il ne l'est pas et alors la restriction à est injective, donc l'image est de dim 2, c'est-à-dire tout.

Posté par
Fractalre : Algèbre linéaire : Centrale 27-05-07 à 14:58

Bonjour Camélia
Non, le vecteur normal n'était pas introduit dans le texte et ta méthode est effectivement beaucoup plus simple

Merci

Fractal

Posté par
Camélia Correcteurre : Algèbre linéaire : Centrale 27-05-07 à 14:59

Avec plaisir!

Posté par
Fractalre : Algèbre linéaire : Centrale 27-05-07 à 15:08

Sinon, un peu plus loin on pose 3$q(X)=||X||^2-||p(X)||^2 pour tout vecteur X de 3$\mathbb{R}^3 et on me demande de montrer, en le déterminant, qu'il existe un unique endomorphisme autoadjoint u de 3$\mathbb{R}^3 tel que 3$q(X)=<u(X),X> (produit scalaire canonique) pour tout X de 3$\mathbb{R}^3.

Pour le trouver, je sais que sa matrice dans la base canonique de 3$\mathbb{R}^3 est symétrique, donc j'ai posé \cal{M}(u)=\(\array{a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\), j'ai calculé 3$q(X) et 3$<u(X),X> en fonction de a, b, c, d, e, f, x, y, z, et , et j'ai identifié les coefficients du polynôme en x, y et z pour trouver finalement \cal{M}(u)=\(\array{0&0&\alpha\\0&0&\beta\\\alpha&\beta&-(1+\alpha^2+\beta^2)\)
Y avait-il plus simple?

Fractal

Posté par
Camélia Correcteurre : Algèbre linéaire : Centrale 27-05-07 à 15:13

Cette fois ça me parait raisonnable et, vu le résultat je ne crois pas que l'on puisse faire bien mieux.

Posté par
Fractalre : Algèbre linéaire : Centrale 27-05-07 à 15:24

Ok, merci

Fractal

Posté par Poun (invité)re : Algèbre linéaire : Centrale 03-06-07 à 11:42

Bonjour Fractal et Camélia!


Je me suis mis aussi à ce sujet de Centrale! et j'ai quelques questions

à la question I)B), quand ils demandent de former p(barre)°p(barre), j'ai former la matrice de p(barre) et après je l'ai élevée au carré mais que faire ensuite pour interpréter géométriquement p ?!

Sinon pour montrer que ||p(X)||||X||, j'ai séparé le calcul des normes, est-ce la bonne méthode ?

Merci beaucoup

Posté par
perroquetre : Algèbre linéaire : Centrale 03-06-07 à 14:57

Bonjour, Poun.

Tu as dû trouver que   p(barre) o p(barre) = p(barre). Donc, p(barre) est une projection. C'est la projection sur le plan de base (i,j) de direction le vecteur v (défini à la question IA).

Par ailleurs, il est faux que:
||p(X)|| est inférieur ou égal à ||X||.

Posté par Poun (invité)re : Algèbre linéaire : Centrale 03-06-07 à 16:07

tu confirmes mes pensées perroquet, merci beaucoup

je bloque encore sur pas mal de questions, par exemple sur la I)C)3)

On a deux droites affines D et D' dont les images par p sont des droites affines de R².
Si D et D' sont sécantes, montrer que leurs images le sont aussi. doit-je étudier DD'? (et ensuite montrer la réciproque).

D'autre part, dans le calcul de fractal, comment calcule t-il le produit scalaire U(X).X ? dois-je faire (a,b,c).(x,y,z) ?

Merci encore.

Posté par
perroquetre : Algèbre linéaire : Centrale 03-06-07 à 21:18

Sur I.C.3:
Si D et D' sont sécantes en A, alors, p(D) et p(D') sont sécantes en p(A).
La réciproque est fausse.

Sur la solution de fractal:
u(X)= (ax+by+cz,bx+dy+ez,cx+ey+fz)
Son produit saclaire avec X vaut:
x(ax+by+cz)+y(bx+dy+ez)+z(cx+ey+fz) = ...

Ceci dit, pour un étudiant en Spé, il y a une solution un peu plus rapide

Posté par Poun (invité)re : Algèbre linéaire : Centrale 04-06-07 à 20:53

merci perroquet! en fait, oué c'était facile pour les droites sécantes^^

c'est quoi la réunion de deux plans ?

Posté par
perroquetre : Algèbre linéaire : Centrale 04-06-07 à 21:08

C'est la réunion de deux plans !!


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