Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Algèbre linéaire - famille
bonjour,
Je suis bloqué surement sur quelque chose de simple mais je n'y arrive même pas alors je viens solliciter votre precieuse aide !
Soit E un R-espace vectoriel formé de la fonction nulle et des fonctions polynomes réelles de degrès inferieur ou égal à n, avec n un entier naturel fixé tq n>=2.
On considère la famille (Po,P1....,Pn) d'élément de E définit par :
x
R, P0(x)=1
P1(x)=x
et
k{2,3,..,n)
Pk(x)=x(x-k)^(k-1)/k!
Il faut que je montre que F=(P0,P1,..,Pn) est une base de E.
Pour cela li suffirait que
F soit libre et card(F)=Dim(E)ou
F soit génératrice et card(F)=(Dim(E)
c'est evident je crois pour le cardinal et la dimension cependant montrer qu'elle est libre ou génératrice je ne vois pas.
En tout cas si j'ai bien compris ce que signifiait une base : F est une base ssi tous les polynomes de E peuvent ce décomposer de manière unique sous la forme P=
0*P0+1*P1+.......n*Pn.
Mais après la théorie j'arrive pas à passer à la pratique merci d'avance
Bonjour
En effet, la dimension est égale au nombre d'éléments de la famille, donc il suffit de montrer que celle-ci est libre.
On suppose donc que
et on veut montrer que les i sont tous nuls. Pour ce faire remarque que Pi est de degré i. Commence à partir du degré n.
Je profite de ce topic, parce que je me rappelle d'un exo où il fallait montrer qu'une famille de polynomes est libre, mais contrairement à ici, tous les polynomes sont de degré n ( et pas échelonnés ), ça te dit quelque chose, Camélia ?
Oui, je suppose qu'il s'agit des polynômes de Lagrange. J'avais fait toute la théorie avec puisea Je peux rechercher le lien si tu veux.
J'ai trouvé et ça peut intéresser aussi 1ssi
Problème - Algèbre et polynômes
c'était pas les polynomes de Lagrange, mais en tout cas ton topic a l'air très intéressant, hop en favori ! 
Dans P0, il n'y a pas de X, donc en faisant x=0, on trouve 0=0 et en faisant x=1, on voit que n=0. Ensuite, on met X(X-1) en facteur et on dit que l'on continue ou on met en forme une récurrence.
merci beaucoup mesdemoiselle pour votre aide
bonne continuation !
lol dsl je croyais rouliane = prénom ou surnom de fille autant pour moi mes sincere excuses !
Ouai merci ça m'a lancé d'une force dans mon exo de DM que je l'ai presque fini cet exo de malheur !
Merci encore de votre attention
mais je vais attaquer les autres exos alors j'aurais surement besoin une fois de plus de vos connaissances !
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac