Bonjour

Attention! Ta réponse à la question 3) est fausse. Comme ker(u) est de dimension 1, u n'est pas bijective, donc A n'est pas inversible.

4) C'est purement calculatoire! Ecris ce que l'on te demande. On verra la suite...

Pour la 3) c'est faux car A est inversible ssi rg(A)=3.

Pour la 4) je pense qu'il faut calculer puis et "deviner la relation". ( Sinon calculer le polynôme caractéristique de A si tu sais ce que c'est).

Le reste c'est du calcul et du cours.

Merci pour vos réponses.

J'avais déja calculé A² puis A^3 que je vous post ici :

A² =  { 0  0  0 }
      { 4  1  2 }
      { 1  0  1 }

A^3 = { 0  0  0 }
      { 5  1  3 }
      { 1  0  1 }

on a donc
{ 0  0  0 }      { 0  0  0 }      { 0  0  0 }
{ 5  1  3 }  +  a{ 4  1  2 }  +  b{ 3  1  1 }  = 0
{ 1  0  1 }      { 1  0  1 }      { 1  0  1 }

Bon, maintenant tu peux calculer a et b, non?

oui je vais essayer je vous poster ca très vite ^^

il faut donc que je calcule ca ?

(5x + 1y + 3z) + a(4x + y + 2z) + b(3x + y + z) = 0
( x +    + z ) + a( x +   + z ) + b( x +   + z) = 0

Mais non!

Le premier terme de la deuxième ligne te dit que 5+4a+3b=0 et le premier terme de la troisième ligne que 1+a+b=0. Une fois résolu, il faut vérifier que ça fait bien ce que l'on veut...

Erf oui je suis un peu fatigué aujourd'hui...

Bon alors 5+4a+3b=0 et 1+a+b=0 a pour solution a=-2 et b=1

{ 0  0  0 }        { 0  0  0 }       { 0  0  0 }    { 0  0  0 }
{ 5  1  3 }  +  -2{ 4  1  2 }  +  1{ 3  1  1 }  =  { 0  0  0 }
{ 1  0  1 }        { 1  0  1 }       { 1  0  1 }    { 0  0  0 }

Très bien!

maintenant tu sais que A³=2A²-A. Alors



je te laisse calculer A⁵

A⁵= A.A⁴= A(3A²-2A)= 3A³ - 2A² = 3(2A²-A) - 2A² = 4A²- 3A

Bonjour
la réponse à la question 2 ne va pas : ker u est un ssev, et un ensemble réduit à un seul élément non nul n'a aucune chance d'en être un : tous les ssev contiennent le vecteur nul .....

Voilà!

On n'a plus l'image, donc il faut recopier la suite...

Heureusement j'avais déja copié les questions, j'avais mis l'image juste pour simplifier la lecture des personnes qui m'aide et non par flemme de recopier


5) On considère la base b = {b₁, b₂, b₃} avec b1= (1 , -2 , 1)  b2= (0, 1 , 0) et b3= (0 , 1 , 1)
Ecrire la matrice de passage P de la base canonique à la base b.

6) Ecrire les vecteurs c_i en fonction des vecteurs b_i et en déduire l'inverse de la matrice P.

7) Donner la matrice B associée a u dans la base b

8) Préciser une expression B^n pour tout entier n >= 0 (démonstration par récurrence)

9) Déduire de la question 8) la valeur de A^n pour tout entier n >=0

pour la 5) j'ai trouvé
(1 0 0)
(2 1 1)
(1 0 1)

Je vais essayer de faire la 6)

il manque un signe moins ....

oui je viens de le voir je cherchais si sur ce forum il y avait une fonction éditer.

(1 0 0)
(-2 1 1)
(1 0 1)

il n'y en a pas, mais il y a des possibilités pour les formules : tex]\(\begin{array}1&0&0\\-2&1&1\\1&0&1\end{array}\)[/tex] donnera

Merci pour la formule je vais essayer de l'utiliser.

6)
J'ai calculer det P = 1

P^t=

P^-1=  (1 / det P).P^* = P^*

P^* =

ça marche ! _{(il suffit de vérifier que quand on multiplie ^par P, on retrouve I : tu aurais pu vérifier toi même)}

Merci, la je vais faire une pause ca fait 5h que je fais de l'algèbre je commence a fatiguer un peu. Je reprendrai d'ici une heure ou deux, et je viendrai lire si on m'a donné des pistes pour les dernières questions. Encore merci pour votre aide.

Je relis la question 6 et je me rends compte que ta manière de faire est hors sujet .....

Oui mais je ne sais pas comment faire la méthode demandé, si quelqu'un pouvait me dire sur quoi partir ...

b1= (1 , -2 , 1) b2= (0, 1 , 0) et b3= (0 , 1 , 1)

donc b1 = c1 -2c2 +c3, b2 = c2, b3 = c2 + c3

donc c2 = b2, c3 = b3 - c2 = b3 - b2, et c1 = b1 + 2c2 - c3 = b1 + 2b2 - (b3 - b2) = b1 + 3b2 - b3

autrement dit, dans la base B, les vecteurs de la base canonique ont pour coordonnées :
c1(1, 3, -1), c2(0, 1, 0), c3(0, -1, 1)

ce qui permet d'écrire la matrice de passage (la même que tu as calculée là-haut, heureusement)

Encore merci pour votre aide.

Je vais essayer de faire au moins la 7) pour finir :

Il faut calculer B= P^-1uP non?

si je me suis pas trompé sur ce que je devais calculer je trouve :