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algèbre linéaire(réduction des endomorphismes)
bonsoir j'ai un test à fair pour mon interrogation d'algèbre il faut répondre par vrai ou faux et justifier:
1- A 
M3(
)admet toujours au moins une valeur propre.
2-on connait les valeurs propres d'une matrice triangulaire sans avoir à calculer son polynôme caractéristique.
3-toute matrice non nulle et diagonalisable est nécessairement inversible.
4-il existe un seule AMn(
)diagonalisable et ayant 
=3 comme unique valeur propre.
5-soit 1,2,3 trois valeurs propres distinctes d'un endomorphisme f, et u1+u2+u3=0 implique u1=u2=u3=0.
6-AMn()est diagonalisable sur si et seulement si pour toute racine réelle d'ordre m du polynôme caractéristique on a dim ker(a-Id)=m.
Salut!
Rapidos vu l'heure...
1. Je dirais VRAI. Le polynome caracteristique est de degre 3, a coeff reels. Il a au moins une racine reelle, donc on a une valeur propre.
2. VRAI. ben y a qu'a calculer le polynome caracteristique, tu vas voir...
3. FAUX. Prendre (1 0)
(0 0)
4. VRAI. A est alors semblable a 3.Id. Je te laisse calculer (P^(-1). 3Id . P) avec P matrice de passage quelconque...
5. VRAI. Je suppose que u1 etc sont les vecteurs propres associes aux valeurs propres. Les sous-espaces propres sont en somme directe. On peut le redemontrer sinon...
5. FAUX. L'implication directe est vraie. La reciproque, je ne crois pas.
Prendre:
(0 1 0)
(-1 0 0)
(0 0 1)
de polynome caracteristique (1-X)(X^2+1).
La seule racine reelle est bien d'ordre 1, la dimension du sev propre associe aussi. pourtant c'est pas diagonalisable.
Verifie bien tout, la reduction des endomorphismes c'etait il y a bien des annees...
A+
biondo
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