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Algebre linéaire, valeurs propres, vecteurs propres
Soit 
l'espace vectoriel des polynomes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3 et f la fonction définie par f(P(x))=Q(x) ou Q(x)=3xP(x)+(1-x2)P'(x)
1-Déterminer A la matrice représentatrice de f dans la base canonique B=(1,x,x2,x3)
2-Vérifier que-3,-1,1,3 sont les valeurs propres de f.
3-Déterminer une base qui diagonalise f.
4-Pourquoi peut-on toujours résoudre f(p(x))=q(x) avec q(x) le polynôme deonné et p(x) un polynome à determiner.
5-Pourquoi y a t-il des conditions sur le reel S pour pouvoir résoudre f(p(x))=S p(x),
ou S est un reel et P(x) un polynôme non nul.Quelles sont ces conditions?
Bonjour Raymond, bonne année et bonne santé pour cette nouvelle année
q(1)=3x
q(x)=2x2+1
q(x2)=x3+2x
q(x3)=3x2
D'ou A
0 1 0 0
3 0 2 0
0 2 0 3
0 0 1 0
Pour la question 2, y a t'il une autre méthode que de calculer le determinant det(A-
I), pour vérifier que -3,-1,1 et 3 sont valeurs propres.
Pour la question3, je trouve:
lambda=-3 vect(1,-3,3,-1)
lambda=-1 vect(1,-1,-1,1)
lambda=1 vect(1,1,-1,-1)
lambda=3 vect(1,3,3,1)
1 1 1 1
-3 -1 1 3
3 -1 - 1 3
-1 1 - 1 1
Et pourrais-je avoir les réponses aux questions 4 et 5
Bonsoir et bonne année.
1°) Je suis d'accord pour A.
2°) A priori, la meilleure méthode est encore le polynôme caractéristique. Je présume qu'ils donnent le résultat dans l'énoncé pour que l'élève puisse poursuivre le sujet avec des données exactes, même s'il s'est planté dns le calcul du polynôme caractéristique.
3°) Je suis d'accord avec les vecteurs propres.
4°) Puisque les valeurs propres sont non nulles, Ker(f) = {0}. Donc f est bijective.
Cela signifie que l'équation d'inconnue P, f(P) = Q, Q donné, a toujours une solution et une seule.
5°) f(P) = s.P, P non nul correspond à la recherche des valeurs propres.
Donc, obligatoirement s € {-3, -1, 1, 3}
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