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algèbre-matrice
NOTATIONS
n désigne un entier naturel non nul.
On note E, l'ensemble Mn(R)des matrices (n,n) à coéfficients réels.
Question 1
déterminer l'orthogonal du sous espace V des matrices diagonales de E, puis l'orthogonal du sous espace W des matrices scalaires de E
Question 2
Préciser la dimmension des sous espaces V|et W|.
Question 3
Etant donné M dans E, trouver la projection orthogonale de M sur W et W|.
J'ai résolu les 2 premières mais je souhaite voir mes réponses sont justes, en revanche la 3 me pose problème car je n'ai jamais vu cela en cours.
Merci d'avance 
Quel produit scalaire a-t-on choisi?
-Si c'est le produit scalaire classique, l'orhogonal de l'espace des matrices diagonales ne contient que les matrices à diagonale nulle.
L'orthogonal des matrices scalaires, ce sont les matrices de trace nulle.
- dim V'= n²- dim V= n(n-1)
- dim W'= n²-1
Enfin 3e question: le projeté sur W est Tr(M).Id et sur son orthogonal bien sur c'est M-Tr(M).Id (c'est bien une matrice de trace nulle)
Ok pour dim (V|) mais je trouve la même chose pour W|......
certainement pas! Les matrices scalaires de la forme x.Id forment un sev de dimension 1, son orthogonal est donc de dimension n²-1. On peut le voir en disant aussi que les matrices de trace nulle forme le noyau de la forme linéaire Tr, donc est un hyperplan de E, i.e. de dimension n²-1
Salut!
Une petite intervention, puisque ces questions ont déjà fait l'objet de quelques interventions: voir 
espace euclidien
Et donc je me permets de rectifier la projection orthogonale de M sur W, qui est Tr(M)/n. Id
Sinon , l'autre matrice n'est pas de trace nulle. La trace de l'identité, ca vaut n.
A+
biondo
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