on peut conjecturer que b vaut 4 lorsque k est un multiple de 6 et b vaut 0 sinon.

une piste à explorer :

a est le résultat de la multiplication de quatre entiers consécutifs. Pour que a soit divisible par 10, il faut qu'il soit divisible par 2 et par 5. On sait déja que quelque soit k, a est divisible par 2 (car soit k soit k+1 est pair). Maintenant, quand est-ce que k,k+1,k+2 ou k+3 sont divisibles par 5 ? Quand est-ce qu'aucun de ces entiers n'est divisible par 5 ? si on part de 1 :

k=1
a=1*2*3*4
a est divisible par 2, mais pas par 10 car 5 n'apparait pas dans la décomposition

k=2
a=2*3*4*5
a est divisible par 2 et par 5 donc par 10 donc b=0

k=3.....

on arrive à k=6
a=6*7*8*9
a n'est pas divisible par 5 donc n'est pas divisible par 10 et le reste vaut ..... ??

k=7
a=10*11*12*13

et la ça recommence!

à toi de comprendre qu'il suffit d'un schéma qui se répète, et de rédiger les choses proprement

Merci de votre réponse !
Je comprends pas pourquoi vous dites que k doit être un multiple de 6 car quand k=11, ou k=16 le chiffre des unités est 4, pour moi on conjecturait que k était égal à 5x+1 mais je comprends bien votre raisonnement

oui tu as raison, c'est bien quand k vaut 5x+1! mais le raisonnement reste identique

Oui c'est identique
Pour démontrer la conjecture je fais comme vous ? Je quelques exemples ?

ce que tu peux faire, c'est distinguer chaque cas de congruence pour "k" :

cas 1 : k est congru à 0 modulo 5 (on n'accepte pas k=0 par contre, bien le préciser!)

k est divisible par 5 donc a est divisible par 10 donc b=0

cas 2 : k est congru à 1 modulo 5

alors ni k, ni k+1, ni k+2, ni k+3 n'est divisible par 5 donc a n'est pas divisible par 5 donc pas divisible par 10

cas 3 : k est congru à 2 modulo 5

k+3 est divisible par 5 donc a est divisible par 10 donc b=0

cas 4 : k est congru à 3 modulo 5

k+2 est divisible par 5 donc a est divisible par 10 donc b=0

cas 5 : k est congru à 4 modulo 5

k+1 est divisible par 5 donc a est divisible par 10 donc b=0


donc la on a démontré que si n'est pas de la forme k=5x+1, b vaut 0.

Maintenant, si k vaut 5x+1 (avec x un entier quelconque) alors il faut prouver que b vaut 4.

J'ai pas vu cette rédaction avec "k est congru à..." Mais c'est pas grave je vais regarder ça demain ça doit pas être compliqué à comprendre, c'est gentil de m'aider. Je reviendrais vers vous si j'ai encore une question ! Merci encore, bonne nuit