Bonjour, à tous j'ai un exercice sur les algorithme j'aimerai bien avoir de l'aide parce que c'est pas mon fort svp
On note n le nombre d'intervalles construits entre 1 et 2 et h le pas utilisé.
Chaque rectangle a pour base un intervalle [a;b] dont les valeurs successives sont [1;1,2],[1,2;1,4] etc...[1.8,2].
On concidère l'algorithme suivant :
i,n,h,a,b,GetD sont des nombres
n prend la valeur 5
a prend la valeur 1
b prend la valeur a+h
G prend la valeur 0
D prend la valeur 0
Pour i allant de 1 à n
G prend la valeur ...
D prend la valeur ...
a prend la valeur ...
b prend la valeur ...
Fin pour
Afficher G
Afficher D
1) On souhaite maintenant que l'utilisateur indique en entrée le nombre n d'intervalles à utiliser. Proposer et tester un algorithme qui réponde à cette question.
2)Modifier et tester l'algorithme précédent de façon à implémenter la méthode des trapèzes.Compléter alors le tableau suivant :
n 10 100 1000
Approximation de l'aire
3)Modifier l'algorithme précédent pour qu'il calcule l'aire sous la courbe de la fonction inverse entre c ou d où c et d sont des réels strictements positifs donnés par l'utilisateur.
Tester ce programme pour calculer:
I = de3 à 10 de 1/x dx
Comparer avec la valeur exacte.(logiciel de calcul formel)
Merci pour votre aide
Je devine que tu veux calculer une approximation de l'aire mais il faudrait me donner au moins des renseignements sur la fonction : est-elle croissante ? décroissante sur [a ; b] ?
G et D doivent représenter probablement des sommes de rectangles mais comment sont ils fabriqués ? Il est impossible que ton prof t'ait posé l'exercice ainsi. Il y a autre chose.
Je n'avais pas mis le début de l'exercice je trouvais que ça faisais long mais en fait il le faut le voici :
On souhaite calculer l'aire sous la courbe de la fonction inverse entre 1 et 2.
L'intervalle [1;2] a été partagé en 5 petits intervalles d'amplitudes 0,2.Le domaine dont on veut calculer l'aire est contenu dans la réunion de 5 petits rectangle dits "à gauche " de hauteurs respectives f(1),f(1,2),f(1,4),f(1,6) et f(1,8).
Ce même domaine contient la réunion de 5 petits rectangles dits "à droite" de hauteurs respectives f(1,2),f(1,4),f(1,6),f(1,8)et f(2).
Ensuite pour l'algorithme j'ai oublié de remplir les "... "
c'est :
G prend la valeur G+(1/b)*h
D prend la valeur D+(1/a)*h
a prend la valeur a+h
b prend la valeur b+h
Voilà en espérant que vous pourrez m'aider
1 On souhaite maintenant que l'utilisateur indique en entrée le nombre n d'intervalles à utiliser
Proposer et tester un algorithme qui réponde à cette question
Si n désigne le nombre de rectangles, la largeur de chaque rectangle est
Le rectangle N° 1 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses 0 et , le rectangle droit a pour longueur donc a pour aire soit h f (a)
Le rectangle N° 2 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses et donc a pour largeur , le rectangle droit a pour longueur donc f (b) donc a pour aire h f (b)
Le rectangle N° k est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses et donc a pour largeur , le rectangle droit a pour longueur donc f (b) donc a pour aire h f (b)
De même pour les rectangles gauches
Le rectangle N° 1 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses 0 et , le rectangle gauche a pour longueur donc a pour aire soit h f (a)
Le rectangle N° 2 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses et donc a pour largeur , le rectangle gauche a pour longueur donc f (a) donc a pour aire h f (a)
Le rectangle N° k est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses et donc a pour largeur , le rectangle gauche a pour longueur donc f (a) donc a pour aire h f (a)
L'algorithme est donc
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
G EST_DU_TYPE NOMBRE
D EST_DU_TYPE NOMBRE
h EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
a PREND_LA_VALEUR 1
h PREND_LA_VALEUR 1/n
G PREND_LA_VALEUR 0
D PREND_LA_VALEUR 0
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
b PREND_LA_VALEUR a + h
G PREND_LA_VALEUR G + h*1/a
D PREND_LA_VALEUR D + h*1/b
a PREND_LA_VALEUR a + h
FIN_POUR
AFFICHER D
AFFICHER G
FIN_ALGORITHME
2 Modifier et tester l'algorithme précédent de façon à implémenter la méthode des trapèzes
L'aire d'un trapèze est égale à soit pour un trapèze de base les points d'abscisses a et b : donc avec la fonction inverse :
L'algorithme devient donc :
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
h EST_DU_TYPE NOMBRE
S EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
m EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
a PREND_LA_VALEUR 1
b PREND_LA_VALEUR 2
LIRE n
h PREND_LA_VALEUR (b-a)/n
S PREND_LA_VALEUR 0
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
b PREND_LA_VALEUR a+h
S PREND_LA_VALEUR S+h*(1/a+1/b)/2
a PREND_LA_VALEUR a+h
b PREND_LA_VALEUR b+h
FIN_POUR
AFFICHERCALCUL S
FIN_ALGORITHME
Compléter alors le tableau suivant :
n 10 100 1000
Approximation de l'aire 0,6937714 0,6937714 06937714
3
c EST_DU_TYPE NOMBRE
d EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
h EST_DU_TYPE NOMBRE
S EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
m EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
Lire c
Lire d
LIRE n
h PREND_LA_VALEUR (b-a)/n
S PREND_LA_VALEUR 0
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
b PREND_LA_VALEUR a+h
S PREND_LA_VALEUR S+h*(1/a+1/b)/2
a PREND_LA_VALEUR a+h
b PREND_LA_VALEUR b+h
FIN_POUR
AFFICHERCALCUL S
FIN_ALGORITHME
Avec l'algorithme : l'intégrale est approximativement 1,2039728 en choisissant c = 3, b = 10 et n = 10 000
Avec un logiciel de calcul formel, l'intégrale est égale à ln 10 - ln 3 ≈ 1,203972804.
L'approximation est donc bonne
j'ai fait une erreur de manipulation
Si n désigne le nombre de rectangles, la largeur de chaque rectangle est h = 1/n
Le rectangle N° 1 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses 0 et h = 1/n , le rectangle droit a pour longueur f(1/n) donc a pour aire h f(a + h) soit h f(b)
Le rectangle N° 2 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses 1/n et 2/n donc a pour largeur h = 1/n, le rectangle droit a pour longueur f(2/n) donc f(b) donc a pour aire h f (b)
Le rectangle N° k est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses k/n et (k + 1)/n donc a pour largeur h = 1/n , le rectangle droit a pour longueur f((k+1)/n) donc f (b) donc a pour aire h f (b)
De même pour les rectangles gauches
Le rectangle N° 1 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses 0 et 1/n, le rectangle gauche a pour longueur f(0) donc a pour aire h f(0) soit h f (a)
Le rectangle N° 2 est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses 1/n et 2/n donc a pour largeur 1/n, le rectangle gauche a pour longueur f(1/n) donc f(a) donc a pour aire h f(a)
Le rectangle N° k est construit à partir des points de l'axe des abscisses d'abscisses k/n et (k + 1)/n donc a pour largeur h = 1/n, le rectangle gauche a pour longueur f(k/n) donc f (a) donc a pour aire h f(a)
L'aire d'un trapèze est égale à soit pour un trapèze de base les points d'abscisses a et b :
donc avec la fonction inverse :
d'où l'algorithme
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