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Algorithme de décomposition factorielle
Bonjour à tous. Voici un exercice de type bac (d'après notre prof) qui ne m'inspire pas. Je serais heureux d'avoir votre idée là-dessus parce que moi je sèche complètement.
Considérons la fraction irréductible .
15 se décompose en produit de facteurs premiers : 15=3 fois 5. Le but est de démontrer que la fraction se décompose de manière unique en :
où les Ai sont des entiers tels que 0
Ai<i
(les chiffres 1,2,3,4,5 à côté des A sont en indice).
1) On suppose qu'une telle décomposition existe.
a) Démontrer qu'alors 56 = 5 fois Q5+ A5 où Q5 est une entier que l'on exprimera en fonction de A2, A3 et A4. En déduire les valeurs numériques de Q5 et A5.
Alors j'ai trouvé les valeurs numériques sans rien démontrer et j'aimerais avoir une méthode plus légale 
;).
J'ai dit que 0A5<5 d'après l'énoncé donc A5=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4
Or 56 = 5 fois Q5+ A5
Q5= et comme Q5 entier alors 5 divise 56-A5.
La seule solution pour A5 est donc 1 en respectant les conditions de l'énoncé car 5 divise 55 donc Q5=11.
Voilà où j'en suis je n'ai rien démontré et je n'ai pas réussi à exprimer Q5 comme on le demande. J'espère que ma petite recherche (certes pas très mathématique 
) vous donnera des idées. 
Merci d'avance
Manu
svpsalut manu_du_40.
alors, on a:
(7/15)=(A2/(2!))+(A3/(3!))+(A4/(4!))+(A5/(5!))
=>
[7/(3*5)]=[(3*4*5)*A2/(3*4*5*2!)]+[(4*5*A3)/(4*5*3!)]+[(5*A4)/(5*4!)+(A5/5!)
=>
[(2*4)*7/(5!)]=[(3*4*5)*A2/(5!)]+[(4*5*A3)/(5!)]+[(5*A4)/(5!)+(A5/5!)
=>
[56/(5!)]={(5*12*A2)+(5*4*A3)+(5*A4)+(A5}/5!
=> on simplifie par (5!)
56=5*{(12*A2)+(4*A3)+(A4)}+A5
or
56=5*Q5+A5
ainsi,
Q5=(12*A2)+(4*A3)+(A4)
Alors là je te tire mon chapeau parce que je n'aurais jamais pensé à faire ça. Comment as tu eu cette idée ??????
En tout cas merci beaucoup pour ton aide.
Manu
re,
Q5 est bien un entier car Q5==(12*A2)+(4*A3)+(A4) avec A2,A3 et A4 sont des entiers
aussi,
0Ai<i
=>
0A2<2 A2={0;1}
0A3<3 A3={0;1;2}
0A4<4 A4={0;1;2;3}
si A2=1, on a Q5
12 => 5*Q560
or 5*Q5+A5=56 avec A50
=> IMPOSSIBLE
=> A2
1
=> A2=0
essaie de faire a peu pres pareil pour trouver A3 et A4
je te rappelle que tu as trouvé Q5=11
A+
re,
De rien. C'est à force de faire des exos que l'on voit les subtilités...
A+
bonne soirée
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